Системы линейных неравенств (ЕГЭ-ОГЭ)

Систе́ма лине́йных нера́венств представляет собой любую совокупность двух или более линейных неравенств, в которых фигурирует одна и та же неизвестная величина.

Под системой неравенств понимают несколько неравенств, для которых требуется определить множество решений, одновременно удовлетворяющих каждому из них.

Если одна и та же переменная присутствует более чем в одном неравенстве, нужно решить каждое из них отдельно и затем определить пересечение полученных множеств решений, отвечающее всем условиям одновременно.

Пример 1: Решим систему двух неравенств с одной переменной.

${\displaystyle {\begin{cases}2\cdot x-1>6\\5-3\cdot x>-13\\\end{cases}}}$;

${\displaystyle {\begin{cases}2\cdot x>7\\-3\cdot x>-18\\\end{cases}}}$;

${\displaystyle {\begin{cases}x>3,5\\x<6\\\end{cases}}}$.

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя переменными.

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}}$;

Построим графики функций, соответствующие этим неравенствам:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant 49}$ задаёт окружность радиусом 7,

${\displaystyle 2x+y>5}$ задаёт прямую.

График окружности проводят пунктирной линией, поскольку неравенство нестрогое, а прямую — сплошной линией.

Графики окружности и прямой

Пусть точка (0;0) находится внутри окружности и ниже прямой.

Первое неравенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant 49}$ при проверке (${\displaystyle 0<49}$) оказывается верным, следовательно решения лежат внутри окружности.

Второе неравенство ${\displaystyle 2x+y>5}$ при подстановке оказывается ложным (${\displaystyle 0>5}$), поэтому область его решений находится выше прямой и включает её саму.

Решением системы неравеств является пересечение полученных областей на координатной плоскости