Системы линейных неравенств

Систе́мой нера́венств называется несколько неравенств, для которых требуется найти множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Систе́мой лине́йных нера́венств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину^[1].

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство по отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1: Решим систему двух неравенств с одной неизвестной.

${\displaystyle {\begin{cases}2\cdot x-1>6\\5-3\cdot x>-13\\\end{cases}}}$;

${\displaystyle {\begin{cases}2\cdot x>7\\-3\cdot x>-18\\\end{cases}}}$;

${\displaystyle {\begin{cases}x>3,5\\x<6\\\end{cases}}}$.

Пример 2: Решим систему двух неравенств с двумя неизвестными.

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant 49\\2x+y>5\\\end{cases}}}$;

Построим графики функций, соответствующих данным неравенствам:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant 49}$ — окружность с радиусом 7,

${\displaystyle 2x+y>5}$ — прямая.

Изображаем график окружности пунктирной линией, так как он соответствует нестрогому неравенству, а график прямой — сплошной линией.

Графики окружности и прямой

Возьмём точку (0;0) внутри графика окружности и ниже графика прямой.

Первое неравенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant 49}$ обращается в верное (${\displaystyle 0<49}$), следовательно его область его решений лежит внутри графика окружности.

Выражение, в которое обращается второе неравенство ${\displaystyle 2x+y>5}$, неверно (${\displaystyle 0>5}$), следовательно область его решений лежит выше графика прямой и включает саму прямую.

Решением системы неравенств является пересечение полученных областей на координатной плоскости