Свободное от сумм множество

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество ${\displaystyle A}$ абелевой группы ${\displaystyle G}$ является свободным от сумм, если его множество сумм ${\displaystyle A+A}$ не пересекается с ${\displaystyle A}$. Другими словами, ${\displaystyle A}$ является свободным от сумм, если уравнение ${\displaystyle a+b=c}$ не имеет решения для ${\displaystyle a,b,c\in A}$.

Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество ${\displaystyle \{N/2+1,\dots ,N\}}$ образует свободное от сумм подмножество множества ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ (для чётного ${\displaystyle N}$).

Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых ${\displaystyle n}$-х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для ${\displaystyle n>2}$.

Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

• Сколько свободных от сумм подмножеств множества ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ существует для заданного ${\displaystyle N}$? Бен Грин^[1] и Александр Сапоженко^[2] показали, что ответ — ${\displaystyle O(2^{N/2})}$, как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша^[3][4].
• Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа ${\displaystyle G}$?^[5]
• Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе ${\displaystyle G}$?^[5]

Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.