Свободная энергия Франка — Озеена

Плотность свободной энергии деформации нематического жидкого кристалла представляет меру увеличения плотности свободной энергии из-за отклонений ориентации директора от однородной. Следовательно, полную плотность свободной энергии можно записать в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{T}=\mathcal{F}_{0}+\mathcal{F}_{d}} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{T}}  — полная свободная энергия жидкого кристалла; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{0}}  — свободная энергия нематика с однородно распределённым полем директора; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{d}}  — свободная энергия деформаций.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{d}=\frac{1}{2}K_1(\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot \operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_3(\mathbf{\hat{n}}\times\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2}

Константы ${\displaystyle K_{i}}$ называются постоянными Франка. Они, как правило, порядка ${\displaystyle 10^{-6}}$ дин^[2]. Каждое из трёх слагаемых соответствует определённому типу деформации нематика: первое — поперечному изгибу, второе — кручению, третье — продольному изгибу. Комбинация этих слагаемых может использоваться для описания произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка являются величинами одного порядка, поэтому зачастую полагают Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle K_1=K_2=K_3=K} ^[3]. Это приближение обычно называют одноконстантным, и его часто используют, так как оно значительно упрощает выражение для свободной энергии деформации:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{d}=\frac{1}{2}K((\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+(\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2)=\frac{1}{2}K\partial_{\alpha}n_{\beta}\partial_{\alpha}n_{\beta}}

К свободной энергии обычно добавляют четвёртое слагаемое, которое называется энергией седловидного изгиба и описывает поверхностное взаимодействие. Это слагаемое, впрочем, зачастую игнорируют при вычислении распределения поля директора, поскольку энергия, заключённая в объёме, гораздо больше энергии, связанной с поверхностными эффектами. Оно записывается в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}K_{24}\nabla\cdot((\mathbf{\hat{n}}\cdot\nabla)\mathbf{\hat{n}}-\mathbf{\mathbf{\hat{n}}}(\nabla\cdot \mathbf{\hat{n}}))} .

Для жидких кристаллов, состоящих из хиральных молекул, к плотности свободной энергии деформации добавляется дополнительное слагаемое. Оно меняет знак при изменении направления директора на обратное и даётся формулой:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{Ch}=k_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})}

Множитель ${\displaystyle k_{2}}$ не зависит от степени молекулярной хиральности^[4]. Поэтому для холестерического жидкого кристалла полная свободная энергия записывается в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{F}_{T}=\mathcal{F}_{0}+\frac{1}{2}K_1(\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}}+q_0)^2+\frac{1}{2}K_3(\mathbf{\hat{n}}\times\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle q_0=2 \pi /P_0} , а ${\displaystyle P_{0}}$ есть шаг холестерической спирали.