Резонанс (ЕГЭ-ОГЭ)

Резона́нс — частотно-избирательный отклик колебательной системы на периодическое внешнее воздействие, проявляющийся в резком увеличении амплитуды стационарных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с определёнными значениями, характерными для данной системы^[1].

При отсутствии потерь энергии резонансу формально соответствует бесконечная амплитуда и совпадение частоты воздействия ${\displaystyle \omega _{A}}$ с собственной частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$ системы. При наличии потерь резонанс становится менее выраженным и наблюдается при частоте ниже ${\displaystyle \omega _{0}}$.

Под влиянием резонанса колебательная система проявляет повышенную чувствительность к внешним воздействиям. В теории колебаний степень этой реакции определяется величиной, называемой добротностью. С помощью резонанса можно выделять и усиливать даже весьма слабые периодические колебания.

Впервые явление резонанса было описано Галилео Галилеем в работах, посвящённых исследованию маятников и струн музыкальных инструментов.

Обычные качели являются наиболее знакомым многим примером механической резонансной системы. Если при размаху прикладывать усилие в такт их резонансной частоте, амплитуда колебаний будет возрастать, тогда как при несогласованном воздействии движения постепенно затухают. Резонансную частоту такого маятника в диапазоне малых отклонений от положения равновесия с достаточной точностью можно вычислить по формуле:

${\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {g \over L}}}$,

где g — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с² на уровне поверхности Земли), а L — расстояние от точки подвешивания маятника до центра масс. (Более точная формула довольно сложна и включает эллиптический интеграл.) При этом резонансная частота не зависит от массы маятника. Также маятник невозможно раскачать на частотах, кратных основной (высших гармониках), зато возбуждение возможно на частотах, представляющих собой дроби от основной (низших гармониках).

Явления резонанса могут приводить как к разрушению, так и к повышению устойчивости механических систем.

Принцип работы механических резонаторов основан на преобразовании потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В простом маятнике вся энергия находится в потенциальном виде в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки, когда скорость достигает максимума, она переходит в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости.

В других механических системах потенциальная энергия может накапливаться по-разному. Например, пружина запасает энергию сжатия, представляющую собой энергию межатомных связей.

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, обладают основной резонансной частотой, зависящей от их длины, массы и натяжения. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом частота определяется скоростью v, с которой волна распространяется по струне:

${\displaystyle f={v \over 2L}}$

где L — длина струны при закреплённых концах. Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения T и массы струны на единицу длины ρ:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \rho }}}$

Таким образом, частота главного резонанса определяется свойствами струны и выражается соотношением:

${\displaystyle f={{\sqrt {T \over \rho }} \over 2L}={{\sqrt {T \over m/L}} \over 2L}={\sqrt {T \over 4mL}}}$,

где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.

Повышение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины приводит к росту резонансной частоты. Помимо основного резонанса, струны имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f^[2], и т. д. При возбуждении струны коротким импульсом (щипком пальцев или ударом молоточка) она начинает колебаться на всех частотах, содержащихся в спектре импульса (теоретически короткий импульс включает все частоты). Однако не совпадающие с резонансными частоты быстро затухают, и остаются лишь гармонические колебания, воспринимаемые как музыкальные ноты.