Редукция (логика)

В линейной алгебре редукция означает применение простых правил к системе уравнений или матриц для их преобразования в более простую форму. В случае матриц этот процесс включает преобразование либо строк, либо столбцов матрицы, поэтому обычно говорят о строчной редукции или столбцовой редукции соответственно. Часто целью редукции является приведение матрицы к её «строчно-редуцированной ступенчатой форме» или «строчной ступенчатой форме»; это и есть цель метода Гаусса.

В математическом анализе редукция означает использование метода интегрирования по частям для вычисления интегралов путём их сведения к более простым формам.

В динамическом анализе статическая редукция означает уменьшение числа степеней свободы. Статическая редукция также может использоваться в методе конечных элементов для упрощения задачи линейной алгебры. Поскольку статическая редукция требует нескольких шагов обращения матриц, это вычислительно затратная операция и может приводить к ошибкам в решении. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений в задаче МКЭ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

где K и F — известные величины, а K, x и F разбиты на подматрицы, как показано выше. Если F₂ содержит только нули, и требуется найти только x₁, K можно редуцировать, получив следующую систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{редуц}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle K_{11,{\text{редуц}}}}$ находится следующим образом:

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}}$

(1)

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

(2)

Уравнение (2) можно решить относительно ${\displaystyle x_{2}}$ (при условии, что ${\displaystyle K_{22}}$ обратима):

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

Подставляя это в (1), получаем

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

Следовательно,

${\displaystyle K_{11,{\text{редуц}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

Аналогично, любую строку или столбец i в F с нулевым значением можно исключить, если соответствующее значение x_i не требуется. Редуцированную матрицу K можно редуцировать повторно. Следует отметить, что каждое редуцирование требует обращения матрицы, а каждое обращение — операция вычислительной сложности O(n³), поэтому для крупных матриц часто проводят предварительную обработку для сокращения времени вычислений.

В IX веке персидский математик Аль-Хорезми в трактате Ал-джабр ввёл основные понятия «редукции» и «уравновешивания», подразумевая перенос вычитаемых членов в другую часть уравнения и сокращение одинаковых членов по разные стороны уравнения. Именно эту операцию Аль-Хорезми первоначально называл аль-джабр^[1]. Название «алгебра» происходит от слова «аль-джабр» в названии его книги.