Пространство знаний

Формально пространство знаний предполагает, что область знаний — это множество понятий или навыков, каждое из которых должно быть в конечном итоге освоено. Не все понятия независимы: для освоения некоторых требуются другие как пререквизиты. Кроме того, овладение одним навыком может облегчить изучение другого за счёт сходства. Пространство знаний определяет, какие наборы навыков являются достижимыми, то есть могут быть усвоены без знания каких-либо других навыков. При естественных предположениях множество достижимых компетенций образует математическую структуру, называемую антиматроида.

Исследователи и педагоги анализируют структуру пространства знаний, относящуюся к той или иной дисциплине, как модель скрытых классов^[6].

Пространства знаний были разработаны как инструмент преодоления недостатков стандартизированных тестов, применяемых в образовательной психометрии. Обычно используемые экзамены, такие как SAT и ACT, сводят знания учащегося к небольшой шкале ординальных рангов, при этом теряются концептуальные зависимости между вопросами. В результате такие тесты не различают подлинное понимание и угадывание, а также не выявляют отдельные пробелы, определяя лишь общую долю освоенных умений. Задача теории пространств знаний — предоставить язык, с помощью которого экзамены смогут точно отражать:^[7]

• то, что ученик уже умеет;
• то, чему ученик готов научиться.

Модели, построенные на основе пространств знаний, оперируют множеством S тем или умений, которое в рамках предметной области рассматривается как конечное множество Q. Каждый допустимый состояние знания относительно S — это подмножество Q; множество всех допустимых состояний образует K. Точные требования к (Q, K) зависят от набора аксиом:

• Структура знаний требует, чтобы в K входили пустое множество (учащийся может не знать ничего) и само Q (полное освоение).
• Пространство знаний — это структура знаний, замкнутая относительно операции объединения: если для каждого предмета существует ученик, знающий его, то возможна ситуация, когда ученик освоит все эти предметы совместно.
• Квазиординальное пространство знаний — пространство знаний, замкнутое также относительно пересечения: если ученик a знает темы A и B, а ученик c — B и C, то возможен ученик, знающий только B.
• Хорошо градуированное пространство знаний (также пространство обучения) — пространство знаний, в котором выполнена аксиома:

  Если ${\displaystyle S\in K}$, то существует ${\displaystyle x\in S}$ такое, что ${\displaystyle S-\{x\}\in K}$

  То есть любое допустимое множество знаний можно освоить, изучая по одному понятию за раз.

Более строгие аксиомы квазиординальных и хорошо градуированных пространств знаний означают, что они обладают определёнными математическими структурами:

• Квазиординальное пространство знаний образует дистрибутивную решётку по объединению и пересечению множеств. Термин «квазиординальное» связан с теорема Биркгофа о представлении, согласно которой такие решётки строго соответствуют квазиупорядочениям.

• Хорошо градуированное пространство знаний — это антиматроида, структура, характерная для задач, разрешимых с помощью жадных алгоритмов.

В обоих случаях структура задаёт на K частичный порядок по включению множеств, который трактуется как образовательные пререквизиты: если ${\displaystyle a\leq b}$, то a должно быть изучено до b.

Этот частичный порядок не определяет однозначно учебный план: некоторые темы позволяют множество вариантов дальнейшего обучения. Однако отношение покрытия в частичном порядке регулирует структуру образовательной программы: если ученик знал a до урока, а b — сразу после, то b покрывает a. Темы, открывшиеся между a и b, образуют внешнюю границу для a («чему ученик мог быть готов научиться») и внутреннюю границу для b («что только что было освоено»).

На практике пространство знаний может строиться разными способами. Наиболее распространён — опрос экспертов. Для этого разработаны специальные алгоритмы, позволяющие одному или нескольким экспертам формировать пространство знаний, отвечая на последовательность простых вопросов^[8][9][10].

Другой подход — построение по данным с помощью анализа структуры, например, через дерево элементов^[11].^[12] Третий способ — анализ процессов решения задач в данной предметной области^[13].