Пространственная инверсия

Пусть имеется набор пространственных координат ${\displaystyle N(x,y,z)}$ событий в системе координат ${\displaystyle O}$. В этом случае пространственной инверсией ${\displaystyle {\textbf {P}}}$ называют изменение, при котором осуществляется действие вида:

${\displaystyle N(x,y,z)\Rightarrow N'(-x,-y,-z).}$ (1)

Такое преобразование можно рассматривать как переход в систему координат ${\displaystyle O'}$, в которой соответственные оси координат направлены в противоположную сторону относительно осей координат в системе координат ${\displaystyle O}$, или как переход к новым событиям, являющимся зеркальными по отношению к событиям, описываемым в системе координат ${\displaystyle O}$.

Сильное и электромагнитное взаимодействие обладают тем свойством, что процессы, обусловленные ими, симметричны относительно пространственной инверсии. В таких системах можно применять пространственную инверсию, поскольку вероятности протекания «прямого» и «зеркального» процессов равны.

В квантовой механике при описании квантовых систем в результате применения пространственной инверсии возникает новая величина, называемая пространственной чётностью, сохраняющаяся при сильном и электромагнитном взаимодействии, но нарушается в процессах, обусловленных слабым взаимодействием.

В квантовомеханических системах преобразование пространственной инверсии осуществляется с помощью оператора чётности ${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}}$:

${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}\Psi (x,y,z)=\Psi (-x,-y,-z).}$ (2)

Повторная операция переводит волновую функцию ${\displaystyle \Psi }$ саму в себя:

${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}^{2}\Psi (x,y,z)=\lambda ^{2}\Psi (x,y,z)=\Psi (x,y,z),}$ (3)

причём ${\displaystyle \lambda ^{2}=1,\Rightarrow \lambda =\pm 1.}$ Это означает, что собственные значения ${\displaystyle \lambda }$ оператора чётности ${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}}$ равны ${\displaystyle +1}$ или ${\displaystyle -1}$.

Следовательно, волновая функция является чётной при ${\displaystyle \lambda =+1}$:

${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}\Psi (x)=+\Psi (x),}$ (4)

и нечётной при ${\displaystyle \lambda =-1}$:

${\displaystyle {\widehat {\textbf {P}}}\Psi (x)=-\Psi (x).}$ (5)

Согласно закону сохранения чётности, если оператор чётности коммутирует с оператором Гамильтона, чётность (нечётность) системы сохраняется, то есть если система была в чётном состоянии, она в чётном состоянии и останется, а если была в нечётном состоянии, то останется в нечётном.

В случае сильных (СВ) и электромагнитных (ЭМВ) полей можно записать:

${\displaystyle {\Biggl [}{\widehat {H}}_{\text{СВ}},{\widehat {\textbf {P}}}{\Biggl ]}=0,}$ (6)

${\displaystyle {\Biggl [}{\widehat {H}}_{\text{ЭМВ}},{\widehat {\textbf {P}}}{\Biggl ]}=0.}$ (7)

В случае слабого (СлВ) взаимодействия чётность не сохраняется, и система может переходить из состояния с одной чётностью в состояние с другой чётностью:

${\displaystyle {\Biggl [}{\widehat {H}}_{\text{СлВ}},{\widehat {\textbf {P}}}{\Biggl ]}\neq 0.}$ (8)