Промежутки монотонности функции

• Монотонность функции — свойство функции сохранять направление изменения на некотором промежутке.

 * Монотонно возрастающая функция: для любых ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ выполняется ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.
 * Монотонно убывающая функция: для любых ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ выполняется ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$.

• Критические точки — точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует.
• Интервалы монотонности — промежутки, на которых функция сохраняет свойство возрастания или убывания.

1. **Найдите область определения функции**. 2. **Вычислите первую производную** ${\displaystyle f'(x)}$. 3. **Найдите критические точки**, решив уравнение ${\displaystyle f'(x)=0}$ и определив точки, где ${\displaystyle f'(x)}$ не существует. 4. **Разделите область определения на интервалы**, используя критические точки. 5. **Определите знак производной** на каждом промежутке:

  - Если ${\displaystyle f'(x)>0}$, функция возрастает.
  - Если ${\displaystyle f'(x)<0}$, функция убывает.

6. **Запишите промежутки возрастания и убывания** функции.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+2}$.

• • Шаг 1:** Область определения функции — все числа: ${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$.

• • Шаг 2:** Найдём первую производную:

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x}$.

• • Шаг 3:** Найдём критические точки, решив уравнение:

${\displaystyle 3x^{2}-6x=0}$,

${\displaystyle 3x(x-2)=0}$.

Критические точки: ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=2}$.

• • Шаг 4:** Разделим область определения на интервалы:

1. ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ 2. ${\displaystyle (0;2)}$ 3. ${\displaystyle (2;+\infty )}$

• • Шаг 5:** Определим знак производной на каждом интервале:

— **Интервал** ${\displaystyle (-\infty ;0)}$:

 Выберем ${\displaystyle x=-1}$.

 ${\displaystyle f'(-1)=3(-1)^{2}-6(-1)=3+6=9>0}$.

 Функция возрастает.

— **Интервал** ${\displaystyle (0;2)}$:

 Выберем ${\displaystyle x=1}$.

 ${\displaystyle f'(1)=3(1)^{2}-6(1)=3-6=-3<0}$.

 Функция убывает.

— **Интервал** ${\displaystyle (2;+\infty )}$:

 Выберем ${\displaystyle x=3}$.

 ${\displaystyle f'(3)=3(3)^{2}-6(3)=27-18=9>0}$.

 Функция возрастает.

• • Шаг 6:** Запишем промежутки монотонности:

— **Функция возрастает на промежутках** ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ и ${\displaystyle (2;+\infty )}$. — **Функция убывает на промежутке** ${\displaystyle (0;2)}$.

Файл:Graph of cubic function example.svg

График функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+2}$

На графике видно, как функция возрастает и убывает на определённых промежутках, что соответствует вычисленным интервалам монотонности.

Промежутки монотонности функции помогают понять её поведение на различных интервалах. Зная их, можно определить характер изменения функции, найти её экстремумы и построить точный график. Это важный инструмент в анализе функций, который широко применяется в математике и её приложениях.