Притягивающее множество

Притягивающее множество — такое инвариантное относительно фазового потока ${\displaystyle \phi (t,x)}$ подмножество ${\displaystyle B}$ фазового пространства ${\displaystyle M}$, для которого существует окрестность ${\displaystyle U}$ (открытое множество, содержащее ${\displaystyle B}$), такая, что для всех ${\displaystyle x_{0}\in U}$ выполняется соотношение ${\displaystyle \phi (t,x_{0})\to B}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$, то есть ${\displaystyle {\mbox{dist}}(\phi (t,x_{0}),B)=\inf _{y\in B}\left\|\phi (t,x_{0})-y\right\|\to 0}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$. Более точно, такое множество называется локально притягивающим. Если ${\displaystyle U=M}$, то множество ${\displaystyle B}$ называется глобально притягивающим^[1].

Подмножество ${\displaystyle G}$ фазового пространства ${\displaystyle M}$ называется инвариантным относительно фазового потока ${\displaystyle \phi (t,x)}$ множеством или просто инвариантным множеством, если для всех допустимых значений ${\displaystyle t}$ имеет место равенство ${\displaystyle \phi (t,G)=G}$, где ${\displaystyle \phi (t,G)=\left\lbrace \phi (t,x_{0})\ |\ x_{0}\in G\right\rbrace }$^[1].

Замкнутое локально притягивающее множество называется аттрактором^[2].