Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах

Периметр прямоугольного участка земли равен 400 метров. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

Обозначим стороны участка ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Тогда периметр участка:

${\displaystyle P=2(a+b)=400}$, откуда получаем:

${\displaystyle a+b=200}$ метров.

Выразим ${\displaystyle b}$ через ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle b=200-a}$.

Площадь прямоугольника:

${\displaystyle S=ab=a(200-a)=-a^{2}+200a}$.

Приравняем производную выражения для площади прямоугольника к нулю и найдём корни получившегося уравнения:

${\displaystyle S'=-2a+200=0}$,

${\displaystyle a=100}$ метров.

Тогда ${\displaystyle b=200-a=100}$ метров.

Ответ: Площадь участка земли будет наибольшей при равенстве его сторон (квадрат). Длина каждой стороны составит 100 метров.

Производная используется, в частности, при решении задач на:

• нахождение максимальной прибыли;
• нахождение минимальных затрат на производство;
• распределение ресурсов.

Условие задачи:

На изготовление ${\displaystyle x}$ единиц товара предприятие тратит:

${\displaystyle f(x)=5x^{2}+300x}$ рублей.

Товар реализуется по цене:

${\displaystyle p=10000}$ рублей за штуку.

Необходимо определить объём продаж, при котором прибыль будет максимальной.

Решение:

Доход от продажи ${\displaystyle x}$ единиц товара составит:

${\displaystyle D(x)=10000x}$ рублей.

Тогда прибыль составит разницу между полученным доходом и затратами на производство:

${\displaystyle P(x)=D(x)-f(x)=10000x-(5x^{2}+300x)=-5x^{2}+9700x}$.

Найдём точку максимума:

${\displaystyle P'(x)=-10x+9700}$.

Приравняем производную к нулю и найдём x:

${\displaystyle -10x+9700=0}$,

${\displaystyle x=970}$.

Ответ: Прибыль будет максимальной при объёме продаж равном 970 единиц товара.

Добросовестное использованиеДобросовестное использованиеtrue

Правообладателем данного материала является АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ». Использование данного материала на других сайтах возможно только с согласия АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ».