Преобразования тригонометрических выражений (ЕГЭ-ОГЭ)

Преобразова́ние тригонометри́ческих выраже́ний — это приведение выражений к более простому виду с помощью тригонометрических формул.

1. Если выражение содержит множество тригонометрических функций, его сводят к форме с минимальным числом различных функций. Для этого применяют основные тригонометрические тождества, формулы приведения и другие соответствующие формулы.
2. Когда аргументы тригонометрических функций в выражении различаются, стремятся привести их к единому аргументу.
3. Если для упрощения требуется получить кофункцию, применяют соответствующие формулы приведения.
4. При наличии в выражении функций в высоких степенях используют основное тригонометрическое тождество или формулы понижения степени.

Формула	Допустимые значения аргумента
${\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формулами приведения называют тождества следующего вида:

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),}$

${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),}$

${\displaystyle f{\Bigl (}{\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha {\Bigr )}=\pm g(\alpha ),}$

${\displaystyle f{\Bigl (}{\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha {\Bigr )}=\pm g(\alpha ).}$

В этих формулах ${\displaystyle f}$ обозначает любую тригонометрическую функцию, а ${\displaystyle g}$ — её кофункцию (косинус соответствует синусу, синус — косинусу, тангенс — котангенсу, котангенс — тангенсу, секанс — косекансу и косеканс — секансу), ${\displaystyle n}$ — целое число. Знак перед преобразованной функцией выбирают в соответствии с тем, какой знак имела исходная функция в данной координатной четверти при условии, что угол ${\displaystyle \alpha }$ острый. Например:

${\displaystyle \cos {\Bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}-\alpha {\Bigr )}=\sin \alpha \,,}$ или эквивалентно: ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha \,.}$

Ниже приведена таблица, позволяющая получить некоторые формулы приведения:

	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle 2\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$

Из формулы косинуса двойного угла выводятся формулы для половинного угла, в частности формула тангенса половинного угла:

Формулы половинного угла
${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}$
${\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }}$

• При использовании формул половинного угла знак радикала выбирают в соответствии с тем, какой знак имеет тригонометрическая функция в левой части равенства.

В равенствах ${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ и аналогичном для котангенса левая и правая части имеют разные области определения, поэтому неосторожные преобразования могут приводить к появлению лишних корней.

Синус	Косинус	Произведение
${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$		${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$		${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$		${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$

Чтобы преобразовать произведение тригонометрических функций, применяют формулы сложения аргументов:

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }}}$
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}}$

• ${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }$
• ${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\alpha -\beta )}$;
• ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta -\alpha )}$;
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha =-\cos(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin {\bigl (}\alpha +{\tfrac {\pi }{4}}{\bigr )}}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin {\bigl (}\alpha -{\tfrac {\pi }{4}}{\bigr )}}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha +\cos \beta =2\sin {\bigl (}{\tfrac {\pi }{4}}+{\tfrac {\alpha -\beta }{2}}{\bigr )}\cos {\bigl (}{\tfrac {\pi }{4}}-{\tfrac {\alpha +\beta }{2}}{\bigr )}}$

Рассмотрим упрощение выражения:

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha }$.

С применением формулы понижения степени для косинуса получаем:

${\displaystyle {\frac {\cos \alpha +1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha +1-\cos \alpha }{2}}={\frac {1}{2}}}$.