Прекодирование с нулевым принуждением

В многоканальной системе передачи по нисходящей линии, содержащей ${\displaystyle N_{t}}$ передающих антенн и ${\displaystyle K}$ пользователей с одной принимающей антенной, где ${\displaystyle K\leq N_{t}}$, принимаемый сигнал пользователя ${\displaystyle k}$ выражается как:

${\displaystyle y_{k}=\mathbf {h} _{k}^{T}\mathbf {x} +n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K}$,

где ${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{K}{\sqrt {P_{i}}}s_{i}\mathbf {w} _{i}}$ — это ${\displaystyle N_{t}\times 1}$ вектор передаваемых символов, ${\displaystyle n_{k}}$ — шум, ${\displaystyle \mathbf {h} _{k}}$ — ${\displaystyle N_{t}\times 1}$ вектор канала, а ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ — некоторый ${\displaystyle N_{t}\times 1}$ вектор линейного прекодирования. Здесь ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$ — транспонирование матрицы, ${\displaystyle {\sqrt {P_{i}}}}$ — квадратный корень из мощности передачи, а ${\displaystyle s_{i}}$ — информационный сигнал с нулевым средним и дисперсией ${\displaystyle \mathbf {E} (|s_{i}|^{2})=1}$.

Данную модель можно компактнее записать так:

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {H} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {D} \mathbf {s} +\mathbf {n} }$,

где

${\displaystyle \mathbf {y} }$ — ${\displaystyle K\times 1}$ вектор принятых сигналов,

${\displaystyle \mathbf {H} =[\mathbf {h} _{1},\ldots ,\mathbf {h} _{K}]}$ — ${\displaystyle N_{t}\times K}$ матрица канала,

${\displaystyle \mathbf {W} =[\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{K}]}$ — ${\displaystyle N_{t}\times K}$ матрица прекодирования,

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathrm {diag} ({\sqrt {P_{1}}},\ldots ,{\sqrt {P_{K}}})}$ — ${\displaystyle K\times K}$ диагональная матрица мощности,

${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{K}]^{T}}$ — ${\displaystyle K\times 1}$ вектор передаваемых сигналов.

Прекодер с нулевым принуждением определяется как прекодер, в котором ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$, предназначенный для пользователя ${\displaystyle i}$, ортогонален каждому вектору канала ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}}$ для пользователей ${\displaystyle j}$ (где ${\displaystyle j\neq i}$).

В результате помеха от сигнала, предназначенного одному пользователю, эффективно подавляется для остальных с помощью прекодера с нулевым принуждением.

Поскольку каждый луч, формируемый прекодером с нулевым принуждением, ортогонален каналам других пользователей, принимаемый сигнал можно записать как

${\displaystyle y_{k}=\mathbf {h} _{k}^{T}\sum _{i=1}^{K}{\sqrt {P_{i}}}s_{i}\mathbf {w} _{i}+n_{k}=\mathbf {h} _{k}^{T}\mathbf {w} _{k}{\sqrt {P_{k}}}s_{k}+n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K}$.

Условие ортогональности в матричной форме выглядит так:

${\displaystyle \mathbf {H} ^{T}\mathbf {W} =\mathbf {Q} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ — некоторого рода ${\displaystyle K\times K}$ диагональная матрица. Обычно ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ выбирают как единичную матрицу. Тогда ${\displaystyle \mathbf {W} }$ становится правой псевдообратной матрицей Мура—Пенроуза от ${\displaystyle \mathbf {H} ^{T}}$:

${\displaystyle \mathbf {W} =\left(\mathbf {H} ^{T}\right)^{+}=\mathbf {H} (\mathbf {H} ^{T}\mathbf {H} )^{-1}}$.

Используя такую конструкцию прекодера с нулевым принуждением, принимаемые сигналы пользователей не коррелируются друг с другом:

${\displaystyle y_{k}={\sqrt {P_{k}}}s_{k}+n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K.}$

Для поддержания разницы в пропускной способности между прекодером с нулевым принуждением при идеальной и ограниченной обратной связи, то есть для выполнения условия

${\displaystyle \Delta R=R_{ZF}-R_{FB}\leq \log _{2}g}$ требуется оценка объёма ресурсов обратной связи.

Джиндал показал, что необходимое количество бит обратной связи для пространственно некоррелированного канала должно масштабироваться по отношению к SNR нисходящего канала на основании формулы^[3]:

${\displaystyle B=(M-1)\log _{2}\rho _{b,m}-(M-1)\log _{2}(g-1)}$,

где M — число передающих антенн, а ${\displaystyle \rho _{b,m}}$ — отношение сигнал/шум для нисходящего канала.

Для передачи B бит через канал обратной связи его пропускная способность должна быть не менее B:

${\displaystyle b_{FB}\log _{2}(1+\rho _{FB})\geq B}$,

где ${\displaystyle b_{FB}=\Omega _{FB}T_{FB}}$ — ресурс обратной связи, представляющий собой произведение частотных и временных ресурсов обратной связи, а ${\displaystyle \rho _{FB}}$ — SNR канала обратной связи. Тогда минимальный требуемый ресурс обратной связи для условия ${\displaystyle \Delta R\leq \log _{2}g}$ равен:

${\displaystyle b_{FB}\geq {\frac {B}{\log _{2}(1+\rho _{FB})}}={\frac {(M-1)\log _{2}\rho _{b,m}-(M-1)\log _{2}(g-1)}{\log _{2}(1+\rho _{FB})}}}$.

Заметим, что в отличие от количества бит, требуемый ресурс обратной связи зависит как от состояния нисходящего, так и от состояния канала обратной связи. Это связано с тем, что пропускная способность, выражаемая в битах в секунду на герц, определяется как раз состоянием канала обратной связи. Если SNR в нисходящем и обратном каналах имеют постоянное соотношение ${\displaystyle \rho _{b,m}/\rho _{FB}=C_{up,dn}}$ и оба значения достаточно высоки, требуется:

${\displaystyle b_{FB,min}^{*}=\lim _{\rho _{FB}\to \infty }{\frac {(M-1)\log _{2}\rho _{b,m}-(M-1)\log _{2}(g-1)}{\log _{2}(1+\rho _{FB})}}=M-1}$.

Из этого следует, что объём ресурса по обратной связи (${\displaystyle b_{FB}}$) не обязан масштабироваться в зависимости от SNR нисходящего канала, в отличие от количества бит обратной связи. Таким образом, системный анализ может привести к выводам, противоположным частным случаям.

Если передатчик идеально знает информацию о состоянии канала (CSI), прекодирование с нулевым принуждением (ZF-прекодирование) может практически полностью реализовать ёмкость системы при большом количестве пользователей. С другой стороны, при ограниченной информации о состоянии канала у передатчика (CSIT) производительность ZF-прекодирования снижается в зависимости от точности CSIT. Для достижения полного мультиплексного выигрыша ZF-прекодирование требует значительного объёма обратной связи относительно отношения сигнал/шум^[3]. Неточная CSIT приводит к значительным потерям в пропускной способности из-за остаточных межпользовательских помех, так как полностью подавить их при неточной CSIT невозможно.