Предварительное кодирование

В системах с множественным входом и выходом (MIMO), где передатчик оснащён несколькими антеннами и взаимодействует с приёмником, тоже имеющим несколько антенн, классические результаты предварительного кодирования обычно рассматривают узкополосный, медленно замирающий канал — то есть канал для некоторого промежутка времени описывается одной каналовой матрицей, изменяющейся достаточно медленно. На практике такое возможно, например, при использовании OFDM. Стратегия предварительного кодирования, максимизирующая пропускную способность канала (т. н. ёмкость канала), зависит от доступной информации о состоянии канала.

Если приёмник знает матрицу канала, а передатчик располагает только статистической информацией, то для достижения предела ёмкости MIMO-канала применяется т. н. эйгенформирование диаграммы направленности (eigenbeamforming)^[4]. В этом подходе передатчик передаёт несколько потоков вдоль собственных значений (eigendirections) ковариационной матрицы канала.

Если матрица канала известна полностью, то достижение ёмкости MIMO-канала обеспечивает предварительное кодирование с использованием сингулярного разложения (SVD)^[5]. Здесь канальная матрица диагонализируется с помощью SVD, а две унитарные матрицы устраняются с помощью пред- и пост-умножения на передатчике и приёмнике соответственно. Тогда можно передавать по одному потоку на каждое сингулярное значение (с соответствующим распределением мощности) без возникновения межпотоковых помех.

В многопользовательских MIMO-системах многоканальный передатчик одновременно обслуживает несколько пользователей (каждый из которых может иметь одну или несколько антенн). Такой подход известен как пространственно-частотный множественный доступ (SDMA). С точки зрения реализации алгоритмы предварительного кодирования для SDMA можно разделить на линейные и нелинейные. Ёмкостно-оптимальные алгоритмы являются нелинейными^[6], но линейные методы обычно дают приемлемую производительность при существенно меньшей сложности. Среди линейных стратегий — передача с максимальным отношением мощности (MRT)^[7], нулевое форсирование (ZF)^[8], и вейнеровское предварительное кодирование^[8]. Существуют также подходы, рассчитанные на малый объём обратной связи о состоянии канала, например, случайное формирование диаграммы направленности^[9]. Нелинейное предварительное кодирование основано на концепции кодирования грязной бумаги (DPC), благодаря которому любое известное помеховое воздействие может быть устранено на передатчике без потери мощности при применении оптимального предварительного кодирования к передаваемому сигналу^[6].

В то время как максимизация производительности очевидна для MIMO-систем «точка-точка», в многопользовательских системах невозможно одновременно максимизировать показатели для всех пользователей. Это приводит к задаче многокритериальной оптимизации, где каждое из критериев связано с максимизацией ёмкости для конкретного пользователя^[3]. Обычно задача упрощается с помощью выбора системной целевой функции (например, взвешенной суммы ёмкостей, где веса отражают приоритеты пользователей в системе). Кроме того, число пользователей может превышать число потоков данных, поэтому требуется алгоритм планирования для отбора обслуживаемых пользователей в каждый момент.

Этот субоптимальный подход не способен достигнуть взвешенной суммы скоростей, однако позволяет максимизировать некоторые метрики достижимых скоростей при линейном предварительном кодировании. Оптимальное линейное предварительное кодирование не имеет простой аналитической формы (замкнутого выражения), но реализуется в виде взвешенного МНКМ (weighted MMSE) предварительного кодирования для гомодинных приёмников^[3]. Веса кодирования для пользователя выбираются так, чтобы максимизировать отношение между усилением сигнала для этого пользователя и интерференцией, создаваемой для остальных (с дополнительными весами), плюс шум. Поэтому предварительное кодирование можно рассматривать как поиск оптимального баланса между усилением сигнала и ограничением межпользовательских помех^[10].

Так как поиск оптимального взвешенного MMSE предварительного кодирования затруднён, часто используют приближённые методы с эвристическим выбором весов. Типичный подход — фокусироваться либо на числителе, либо на знаменателе приведённого отношения, то есть использовать MRT^[7] и ZF предварительное кодирование^[11]. MRT максимизирует только усиление сигнала для целевого пользователя и близко к оптималу в системах, ограниченных шумом. ZF устраняет межпользовательские помехи ценой некоторой потери усиления полезного сигнала; его производительность близка к суммарной ёмкости при большом числе пользователей или при доминировании интерференции над шумом. Баланс между MRT и ZF реализуется с помощью регуляризованного нулевого форсирования^[12] (также называемого SLNR-формированием диаграммы направленности^[13] и вейнеровской фильтрацией^[8]). Все эти эвристические методы могут быть применены и для приёмников с несколькими антеннами^[8][12][13].

Для многопользовательских MIMO также применяется постановка задачи оптимизации взвешенной суммы MSE с отдельными весами ошибок для каждого символа^[14]. Однако и этот подход остаётся субоптимальным. Рассматривается также метод дуальности для получения субоптимальных решений оптимизации взвешенной суммы скоростей^[15][16].

Оптимальное линейное предварительное кодирование можно вычислить с помощью методов монотонной оптимизации^[17][18], но вычислительная сложность этих методов экспоненциально растёт с числом пользователей, поэтому они применимы в основном для сравнительных тестов на небольших системах.

На практике информация о состоянии канала на передатчике всегда ограничена из-за ошибок оценки и квантования. Недостаточно точное знание канала может привести к существенной потере пропускной способности системы, так как невозможно полностью управлять помехами между передаваемыми потоками. В системах с замкнутым контуром возможности обратной связи определяют, какие стратегии предварительного кодирования приемлемы. Каждый приёмник может либо передавать квантованное значение полного знания канала, либо лишь ключевые показатели производительности (например, усиление канала).

Если полная информация о канале поступает с хорошей точностью, возможно применение стратегий, разработанных для полной информации при малых потерях производительности. ZF предварительное кодирование может дать полный мультиплексный выигрыш, но только если точность обратной связи возрастает пропорционально отношению сигнал/шум (в дБ)^[11]. Квантование и обратная связь информации о состоянии канала основывается на векторном квантовании, хорошо себя зарекомендовали кодовые книги, построенные по принципу упаковки прямых на многообразии Грассмана^[19].

Для случая очень низкой скорости обратной связи были предложены другие методы предварительного кодирования, например случайное формирование диаграммы направленности^[9] (или оппортунистическое формирование диаграммы направленности^[20]) — в этом подходе направления лучей выбираются случайно, а пользователи передают несколько бит информации, указывая, какой из предварительно заданных лучей обеспечивает наилучшую производительность и какой скорости передачи они могут достичь. При большом числе пользователей для каждого луча найдётся хотя бы один, которому он хорошо подходит.

В пространственно скоррелированных средах долгосрочная статистика канала может объединяться с малой скоростью обратной связи для организации многопользовательского предварительного кодирования^[21]. Поскольку пространственная статистика содержит значимую направленную информацию, пользователям достаточно сообщать только текущий уровень усиления своего канала. Как веса формируются не случайным образом, а по статистике, такой подход превосходит случайное формирование диаграммы направленности при сильной пространственной корреляции^[22].

В многопользовательских MIMO-системах, когда число пользователей больше числа передающих антенн, используется многообразие пользователей (multiuser diversity), достигаемое с помощью планирования пользователей до применения нулевого форсирования. Это форма селективного многообразия: базовая станция отдаёт приоритет тем пользователям, у которых в данный момент наблюдаются лучшие условия распространения, что позволяет улучшить производительность системы. Для этого необходима информация о состоянии каналов всех пользователей на базовой станции, что увеличивает объём обратной связи. Поэтому важно выбирать пользователей, которые будут передавать свою квантованную CSI, по пороговому принципу^[23].

Кодирование грязной бумаги (DPC) — это метод кодирования, который позволяет заранее устранить известные помехи без потери мощности. Для этого помехи должны быть известны только передатчику, тогда как для достижения ёмкости требуется точное знание канала всеми элементами системы^[6]. Сюда относятся, в частности, кодирование Косты^[24], предварительное кодирование Томлинсона-Харасимы^[25][26] и метод векторного возмущения^[27].

Классическая узкополосная, медленно замирающая модель для систем MIMO «точка-точка» изложена на странице MIMO.

Рассмотрим нисходящую многопользовательскую MIMO-систему, состоящую из базовой станции с ${\displaystyle N}$ передающими антеннами и ${\displaystyle K}$ гомодинными пользователями. Канал пользователя ${\displaystyle k}$ задаётся вектором ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{k}}$; ${\displaystyle i}$-я компонента этого вектора отражает отклик между ${\displaystyle i}$-й передающей антенной и принимающей антенной пользователя. Взаимосвязь сигналов задаётся равенством:

${\displaystyle y_{k}=\mathbf {h} _{k}^{H}\mathbf {x} +n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K}$,

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — передаваемый вектор (размерности ${\displaystyle N\times 1}$), ${\displaystyle y_{k}}$ — принятый сигнал, ${\displaystyle n_{k}}$ — шум (нуль среднего, единичной дисперсии).

При линейном предварительном кодировании передаваемый вектор имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{K}\mathbf {w} _{i}s_{i},}$

где ${\displaystyle s_{i}}$ (нормированный) символ данных и ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ — линейный вектор предварительного кодирования (размерности ${\displaystyle N\times 1}$). Отношение сигнал/помеха плюс шум (SINR) для пользователя ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {\textrm {SINR}}_{k}={\frac {|\mathbf {h} _{k}^{H}\mathbf {w} _{k}|^{2}}{\sigma _{k}^{2}+\sum _{i\neq k}|\mathbf {h} _{k}^{H}\mathbf {w} _{i}|^{2}}}}$,

где ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$ — дисперсия шума на канале пользователя ${\displaystyle k}$, а соответствующая информационная скорость — ${\displaystyle \log _{2}(1+{\textrm {SINR}}_{k})}$ бит на использование канала. Передача ограничена по мощности: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}\|\mathbf {w} _{i}\|^{2}\leq P}$, где ${\displaystyle P}$ — допустимое ограничение.

Типовой критерий в многопользовательских системах — взвешенная сумма скоростей:

${\displaystyle {\underset {\{\mathbf {w} _{k}\}:\sum _{i}\|\mathbf {w} _{i}\|^{2}\leq P}{\mathrm {maximize} }}\sum _{k=1}^{K}a_{k}\log _{2}(1+{\textrm {SINR}}_{k})}$,

где ${\displaystyle a_{k}}$ — положительные веса для учёта приоритета пользователей. Взвешенную сумму максимизирует взвешенное МНКМ-кодирование, выбирая:

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}^{\textrm {W-MMSE}}={\sqrt {p_{k}}}{\frac {(\mathbf {I} +\sum _{i\neq k}q_{i}\mathbf {h} _{i}\mathbf {h} _{i}^{H})^{-1}\mathbf {h} _{k}}{\|(\mathbf {I} +\sum _{i\neq k}q_{i}\mathbf {h} _{i}\mathbf {h} _{i}^{H})^{-1}\mathbf {h} _{k}\|}}}$

для набора положительных коэффициентов ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{K}}$ (связанных с весами пользователей), удовлетворяющих ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}q_{i}=P}$, а ${\displaystyle p_{i}}$ — оптимальное распределение мощности^[10].

Субоптимальный MRT-метод не использует инверсию канала, а просто выбирает

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}^{\mathrm {MRT} }={\sqrt {p_{k}}}{\frac {\mathbf {h} _{k}}{\|\mathbf {h} _{k}\|}},}$

а субоптимальное ZF-кодирование обеспечивает ${\displaystyle \mathbf {h} _{i}^{H}\mathbf {w} _{k}^{\mathrm {ZF} }=0}$ для всех ${\displaystyle i\neq k}$, полностью устраняя интерференцию:

${\displaystyle {\textrm {SINR}}_{k}^{\mathrm {ZF} }={\frac {|\mathbf {h} _{k}^{H}\mathbf {w} _{k}^{\mathrm {ZF} }|^{2}}{\sigma _{k}^{2}}}.}$

Для сопоставления полезно сравнить результаты для нисходящей линии с восходящим MIMO-каналом, где те же гомодинные пользователи передают на базовую станцию с ${\displaystyle N}$ приёмными антеннами. В этом случае:

${\displaystyle \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{K}\mathbf {h} _{k}{\sqrt {q_{k}}}s_{k}+\mathbf {n} }$,

где ${\displaystyle s_{k}}$ — символ пользователя ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle q_{k}}$ — мощность передачи, ${\displaystyle \mathbf {y} }$, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — соответствующие векторы сигналов и шума, ${\displaystyle \mathbf {h} _{k}}$ — канал. Если базовая станция использует линейные приёмные фильтры, SINR потока ${\displaystyle k}$ следующий:

${\displaystyle {\textrm {SINR}}_{k}^{\mathrm {uplink} }={\frac {q_{k}|\mathbf {h} _{k}^{H}\mathbf {v} _{k}|^{2}}{\sigma _{k}^{2}+\sum _{i\neq k}q_{i}|\mathbf {h} _{i}^{H}\mathbf {v} _{k}|^{2}}}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ — единичный приёмный фильтр для пользователя. В сравнении с нисходящей линией, различаются только индексы в интерференционном слагаемом. Оптимальные приёмные фильтры совпадают (до масштабного множителя) с векторами предварительного МНКМ-кодирования:

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{\textrm {MMSE}}={\frac {(\sigma _{k}^{2}\mathbf {I} +\sum _{i\neq k}q_{i}\mathbf {h} _{i}\mathbf {h} _{i}^{H})^{-1}\mathbf {h} _{k}}{\|(\sigma _{k}^{2}\mathbf {I} +\sum _{i\neq k}q_{i}\mathbf {h} _{i}\mathbf {h} _{i}^{H})^{-1}\mathbf {h} _{k}\|}}}$.

Необходимо отметить, что коэффициенты ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{K}}$, использованные в МНКМ-кодировании, не всегда являются оптимальными для восходящей линии (только в специальных случаях). Эта связь между нисходящим предварительным кодированием и восходящим приёмом называется дуальностью восходящей-нисходящей линии^[28][29]. Часто для упрощения анализа нисходящую задачу решают через её восходящий аналог.

Выше описаны стратегии предварительного кодирования при идеальной информации о состоянии канала на передатчике. В реальных системах приёмники могут возвращать только квантованную (ограниченную по битности) информацию. Если использовать те же схемы кодирования, но учитывать только приблизительное знание канала, в системе возникает дополнительная интерференция — это пример предварительного кодирования с ограниченной обратной связью.

Принятый сигнал при ограниченной обратной связи:

${\displaystyle y_{k}=\mathbf {h} _{k}^{H}\sum _{i=1}^{K}{\hat {\mathbf {w} }}_{i}s_{i}+n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K.}$

Здесь ${\displaystyle {\hat {\mathbf {w} }}_{i}=\mathbf {w} _{i}+\mathbf {e} _{i}}$, где ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ — оптимальный вектор, ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ — ошибка из-за неточного знания канала. Принятый сигнал можно записать как:

${\displaystyle y_{k}=\mathbf {h} _{k}^{H}\sum _{i=1}^{K}\mathbf {w} _{i}s_{i}+\mathbf {h} _{k}^{H}\sum _{i=1}^{K}\mathbf {e} _{i}s_{i}+n_{k},\quad k=1,2,\ldots ,K}$,

где ${\displaystyle \mathbf {h} _{k}^{H}\sum _{i\neq k}\mathbf {e} _{i}s_{i}}$ — дополнительная интерференция для пользователя ${\displaystyle k}$ из-за огра­ниченной обратной связи. Для её уменьшения требуется повысить точность передачи информации о канале, но это снижает скорость в восходящей линии.