Последняя теорема Пуанкаре

Пусть ${\displaystyle K}$ — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами ${\displaystyle r=a}$ и ${\displaystyle r=b}$. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

${\displaystyle r'=\varphi (r,\theta );\theta '=\psi (r,\theta )}$,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
2. каждая граничная окружность переходит в себя: ${\displaystyle \varphi (a,\theta )=a}$, ${\displaystyle \varphi (b,\theta )=b}$;
3. точки с ${\displaystyle r=a}$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с ${\displaystyle r=b}$ — по часовой стрелке. Более точно, функция ${\displaystyle \psi }$ непрерывна и ${\displaystyle \psi (a,\theta )>\theta }$ и ${\displaystyle \psi (b,\theta )<\theta }$ при любом ${\displaystyle \theta }$.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

• Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.