Поле точечного заряда

Поле точечного заряда

Поле точечного заряда — это электрическое поле, создаваемое электрически заряженной материальной точкой, заряд которой сосредоточен в одной точке пространства. Эта модель применяется, когда размерами заряженного тела можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается взаимодействие.

Напряжённость электрического поля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке. Она определяется как отношение силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$, действующей на пробный заряд ${\displaystyle q^{*}}$, к величине этого заряда:

${\displaystyle {\vec {E}}={\dfrac {\vec {F}}{q^{*}}}.}$

Для точечного заряда величиной ${\displaystyle q}$ напряжённость электрического поля на расстоянии ${\displaystyle r}$ от него рассчитывается по формуле:

${\displaystyle {\vec {E}}={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\dfrac {q}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}},}$

где:

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная;
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор, направленный от заряда к точке наблюдения.

Модуль напряжённости равен:

${\displaystyle E={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\dfrac {|q|}{r^{2}}}.}$

Направление вектора напряжённости зависит от знака заряда:

• Для положительного заряда (${\displaystyle q>0}$) поле направлено **от** заряда.
• Для отрицательного заряда (${\displaystyle q<0}$) поле направлено **к** заряду.

Электрический потенциал ${\displaystyle \varphi }$ точечного заряда на расстоянии ${\displaystyle r}$ определяется формулой:

${\displaystyle \varphi ={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\dfrac {q}{r}}.}$

Потенциал является скалярной величиной и характеризует энергию, которую приобретает единичный положительный заряд в данной точке поля.

Линии напряжённости электрического поля точечного заряда представляют собой радиальные прямые, исходящие из заряда (для положительного заряда) или сходящиеся к нему (для отрицательного заряда).

• • Свойства линий напряжённости:**

• Линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
• Они не пересекаются между собой.
• Густота линий пропорциональна величине напряжённости поля.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

${\displaystyle {\vec {F}}={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\dfrac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}},}$

где:

• ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ — величины взаимодействующих зарядов;
• ${\displaystyle r}$ — расстояние между ними;
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — вектор, направленный от одного заряда к другому.

Теорема Гаусса позволяет вычислить напряжённость поля точечного заряда, используя поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность. Для сферической поверхности радиуса ${\displaystyle r}$, окружающей точечный заряд ${\displaystyle q}$, справедливо:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\dfrac {q}{\varepsilon _{0}}}.}$

Так как поле точечного заряда имеет сферическую симметрию, напряжённость на поверхности сферы постоянна, и интеграл упрощается до:

${\displaystyle E\cdot 4\pi r^{2}={\dfrac {q}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\dfrac {q}{r^{2}}}.}$

Поле точечного заряда используется для расчёта электрических полей и потенциальной энергии в различных конфигурациях зарядов. Применяя принцип суперпозиции, можно определить результирующее поле от системы точечных зарядов, суммируя вклад каждого из них:

${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{сум}}=\sum _{i}{\vec {E}}_{i}.}$

Поле точечного заряда является фундаментальным примером в электростатике, демонстрируя основные свойства электрических полей и взаимодействий. Понимание этого поля позволяет решать широкий круг задач, связанных с электростатическими силами, потенциалами и распределением зарядов.