Показательные неравенства

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенства вида ${\displaystyle a^{f(x)}>a^{c}}$ или ${\displaystyle a^{f(x)}<a^{c}}$, где ${\displaystyle f(x)}$ — выражение, содержащее неизвестное, ${\displaystyle a>0,a\neq 1,c\in R}$.

Так как множество значений показательной функции ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$— множество положительных чисел, то при ${\displaystyle b\leq 0}$ неравенства: ${\displaystyle a^{x}<b}$ решений не имеют, независимо от значения основания а. В то же время множеством решения неравенств ${\displaystyle a^{x}>b}$ и ${\displaystyle a^{x}\geqslant b}$ является всё множество действительных чисел, независимо от значения основания ${\displaystyle a}$^[1].

Приведя неравенство к виду ${\displaystyle a^{f(x)}>a^{c}}$ или ${\displaystyle a^{f(x)}<a^{c}}$, можно сравнить показатели степеней с помощью свойства монотонности функции^[2].

Возможно два варианта поведения функции неравенства^[3]:

• Если ${\displaystyle a>1}$, то показательная функция возрастает. Значит, ${\displaystyle f(x)>c}$, то есть знак неравенства не изменится.
• Если ${\displaystyle 0<a<1}$, то показательная функция убывает. Значит, ${\displaystyle f(x)<c}$, то есть знак неравенства изменится на противоположный.