Подзадачи Падена — Кэхана

Упрощение достигается за счёт принципа: вращение не влияет на точку, лежащую на оси этого вращения. Например, если точка ${\displaystyle p}$ лежит на оси револьвентного твиста ${\displaystyle \xi }$, её положение не меняется при актуации твиста:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }p=p}$.

Следовательно, для структурного уравнения ${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}=g}$ где ${\displaystyle \xi _{1}}$, ${\displaystyle \xi _{2}}$ и ${\displaystyle \xi _{3}}$ — твисты с нулевым шагом, применение обеих частей уравнения к точке ${\displaystyle p}$, лежащей на оси ${\displaystyle \xi _{3}}$ (но не на осях ${\displaystyle \xi _{1}}$ или ${\displaystyle \xi _{2}}$), даёт:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p=gp}$.

После исключения ${\displaystyle \xi _{3}}$ получаем:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p=gp}$.

Это уравнение, если ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ пересекаются, может быть решено с помощью подзадачи 2.

В некоторых случаях задачу также можно упростить, вычитая точку из обеих частей уравнения и беря норму разности.

Например, для решения уравнения:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}=g}$

относительно ${\displaystyle \xi _{3}}$, где ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ пересекаются в точке ${\displaystyle q}$, обе части уравнения можно применить к точке ${\displaystyle p}$, не лежащей на оси ${\displaystyle \xi _{3}}$. Вычитая ${\displaystyle q}$ и беря норму, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{i}=\|gp-q\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}(e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q)\|=\|e^{{\widehat {\xi }}_{3}\theta _{3}}p-q\|\end{aligned}}}$.

Эту задачу можно решить с помощью подзадачи 3.

Пусть ${\displaystyle r}$ — точка на оси ${\displaystyle \xi }$. Векторы ${\displaystyle u=(p-r)}$ и ${\displaystyle v=(q-r)}$. Так как ${\displaystyle r}$ лежит на оси ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }r=r}$, а значит ${\displaystyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v}$.

Далее определим ${\displaystyle u'}$ и ${\displaystyle v'}$ — проекции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ на плоскость, перпендикулярную оси ${\displaystyle \xi }$. Для вектора ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ вдоль оси ${\displaystyle \xi }$:

${\displaystyle u'=u-\omega \omega ^{T}u}$ и ${\displaystyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$

Если ${\displaystyle u'=0}$, то ${\displaystyle p=q}$ и обе точки лежат на оси вращения — в этом случае подзадача имеет бесконечно много решений.

Для существования решения необходимо, чтобы проекции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ на ${\displaystyle \omega }$ и на плоскость, перпендикулярную ${\displaystyle \omega }$, совпадали по длине. Необходимо проверить:

${\displaystyle \omega ^{T}u=\omega ^{T}v}$ и ${\displaystyle \|u'\|=\|v'\|}$.

Если эти условия выполнены, значение угла ${\displaystyle \theta }$ находится через функцию atan2:

${\displaystyle \theta =\mathrm {atan2} (\omega ^{T}(u'\times v'),u'^{T}v').}$

Если ${\displaystyle u'\neq 0}$, подзадача имеет одно решение для ${\displaystyle \theta }$.

Пусть оси не параллельны (то есть ${\displaystyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$). Обозначим ${\displaystyle c}$ — точку, такую что:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}p=c=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}q.}$

Иначе говоря, ${\displaystyle c}$ — положение, в которое точка ${\displaystyle p}$ переходит вращением вокруг одной оси, чтобы потом вращением вокруг другой совпасть с ${\displaystyle q}$. Каждое вращение — это частный случай подзадачи 1, но требуется найти все возможные решения для ${\displaystyle c}$.

Пусть ${\displaystyle r}$ — точка пересечения двух осей:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}(p-r)=c-r=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}(q-r).}$

Обозначим ${\displaystyle u=(p-r)}$, ${\displaystyle v=(q-r)}$, ${\displaystyle z=(c-r)}$:

${\displaystyle e^{{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}u=z=e^{-{\widehat {\xi }}_{1}\theta _{1}}v.}$

Отсюда: ${\displaystyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$, ${\displaystyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$, ${\displaystyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$.

Так как ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$ и ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}}$ линейно независимы, ${\displaystyle z}$ представимо в виде:

${\displaystyle z=\alpha \omega _{1}+\beta \omega _{2}+\gamma (\omega _{1}\times \omega _{2}).}$

Коэффициенты определяются так:

${\displaystyle \alpha ={\frac {(\omega _{1}^{T}\omega _{2})\omega _{2}^{T}u-\omega _{1}^{T}v}{(\omega _{1}^{T}\omega _{2})^{2}-1}}}$,

${\displaystyle \beta ={\frac {(\omega _{1}^{T}\omega _{2})\omega _{1}^{T}v-\omega _{2}^{T}u}{(\omega _{1}^{T}\omega _{2})^{2}-1}}}$,

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {\|u\|^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-2\alpha \beta \omega _{1}^{T}\omega _{2}}{\|\omega _{1}\times \omega _{2}\|^{2}.}}}$.

Подзадача даёт два решения, если окружности пересекаются; одно — при касании; нет решений — если окружности не пересекаются.

Пусть ${\displaystyle r}$ — точка на оси ${\displaystyle \xi }$. Определим ${\displaystyle u=(p-r)}$, ${\displaystyle v=(q-r)}$ так, что ${\displaystyle \|v-e^{{\widehat {\xi }}\theta }u\|^{2}=\delta ^{2}.}$

Проекции: ${\displaystyle u'=u-\omega \omega ^{T}u}$ и ${\displaystyle v'=v-\omega \omega ^{T}v}$.

«Проекция» отрезка ${\displaystyle \delta }$ определяется как

${\displaystyle \delta '^{2}=\delta ^{2}-|\omega ^{T}(p-q)|^{2}.}$

Угол ${\displaystyle \theta _{0}}$ между ${\displaystyle u'}$ и ${\displaystyle v'}$:

${\displaystyle \theta _{0}=\mathrm {atan2} (\omega ^{T}(u'\times v'),u'^{T}v').}$

Далее, ${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm \cos ^{-1}\left({\frac {\|u'\|^{2}+\|v'\|^{2}-\delta '^{2}}{2\|u'\|\|v'\|}}\right).}$

Подзадача может дать 0, 1 или 2 решения в зависимости от числа точек пересечения окружности радиуса ${\displaystyle \|u'\|}$ и окружности радиуса ${\displaystyle \delta '}$.