Подерная система координат

Если кривая задана уравнением ${\displaystyle p=p(r)}$, то дифференциальные характеристики принимают вид:

• Дифференциал длины дуги (${\displaystyle ds}$):

${\displaystyle ds^{2}={\frac {r^{2}dr^{2}}{r^{2}-p^{2}}}}$.

• Секториальная площадь (${\displaystyle dA}$):

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}{\frac {rp}{\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}dr}$.

Одной из наиболее важных формул в подерных координатах является выражение для радиуса кривизны ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \rho =r{\frac {dr}{dp}}}$,

где дифференцирование производится по ${\displaystyle p}$. Эта формула позволяет находить точки перегиба (где ${\displaystyle dp/dr=0}$) и анализировать центры кривизны. Координаты центра кривизны ${\displaystyle (r_{c},p_{c})}$ относительно того же полюса задаются уравнениями^[7][2]:

${\displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}$

${\displaystyle r_{c}^{2}=r^{2}+\rho ^{2}-2\rho {\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$.

Если кривая задана уравнением ${\displaystyle r=f(\theta )}$, то координата ${\displaystyle p}$ находится как:

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}$.

Пример. Дано: логарифмическая спираль с углом спирали ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\phi }.}$

Решение: дифференцируя по ${\displaystyle \phi }$, получаем:

${\displaystyle r'_{\phi }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\phi }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r,}$

откуда:

${\displaystyle |r'_{\phi }|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r.}$

Подставляя в формулу перехода:

${\displaystyle {\frac {rp_{c}}{p}}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r\quad \Rightarrow \quad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p.}$

Используя соотношение ${\displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}$, окончательно получаем:

${\displaystyle p=|\sin \alpha |r.}$

Таким образом, логарифмическая спираль описывается линейным уравнением в подерных координатах.

Для кривой ${\displaystyle F(x,y)=0}$ при полюсе в начале координат ${\displaystyle (0,0)}$:

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle p={\frac {|xF_{x}+yF_{y}|}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}}}$,

где ${\displaystyle F_{x},F_{y}}$ — частные производные функции^[7][2].

Пример. Дано: овал Декарта определяется как геометрическое место точек, для которых линейная комбинация расстояний до двух фокусов постоянна:

${\displaystyle |x|+\alpha |x-a|=C,}$

где ${\displaystyle \alpha ,C}$ — константы, ${\displaystyle a}$ — вектор между фокусами. В полярных координатах:

${\displaystyle r+\alpha {\sqrt {r^{2}-2|a|r\cos \phi +|a|^{2}}}=C.}$

Решение: выражая ${\displaystyle \cos \phi }$:

${\displaystyle 2|a|\alpha ^{2}\cos \phi =r(\alpha ^{2}-1)-{\frac {b^{2}}{r}}+2C,\quad b^{2}:=C^{2}-\alpha ^{2}|a|^{2}.}$

Дифференцируя по ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle -2|a|\alpha ^{2}\sin \phi =\left(\alpha ^{2}-1+{\frac {b^{2}}{r^{2}}}\right)r'_{\phi }.}$

Получаем дифференциальное уравнение:

${\displaystyle 4|a|^{2}\alpha ^{4}=4|a|^{2}\alpha ^{4}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\left(r(\alpha ^{2}-1)-{\frac {b^{2}}{r}}+2C\right)^{2}+\left(\alpha ^{2}-1+{\frac {b^{2}}{r^{2}}}\right)^{2}{r'_{\phi }}^{2}.}$

Преобразуя, получаем подерное уравнение овала Декарта:

${\displaystyle {\frac {(b^{2}-(1-\alpha ^{2})r^{2})^{2}}{4p^{2}}}={\frac {Cb^{2}}{r}}+(1-\alpha ^{2})Cr-((1-\alpha ^{2})C^{2}+b^{2}).}$

Семейство синусоидальных спиралей ${\displaystyle \sigma _{n}(a)}$ задаётся уравнением:

${\displaystyle a^{n}p=r^{n+1}}$

и содержит множество известных кривых^[7][2]:

${\displaystyle n}$	Уравнение	Кривая	Положение полюса
0	${\displaystyle p=r}$	Концентрические окружности	Центр
−1	${\displaystyle p=a}$	Прямая	Точка на расстоянии ${\displaystyle a}$
1	${\displaystyle ap=r^{2}}$	Окружность	На окружности
2	${\displaystyle a^{2}p=r^{3}}$	Лемниската Бернулли	Центр
−2	${\displaystyle rp=a^{2}}$	Равносторонняя гипербола	Центр
−1/2	${\displaystyle a^{-1/2}p=r^{1/2}}$	Парабола	Фокус
1/2	${\displaystyle a^{1/2}p=r^{3/2}}$	Кардиоида	Точка возврата

Синусоидальные спирали инвариантны относительно многих преобразований:

• масштабирование: ${\displaystyle \sigma _{n}(a){\xrightarrow {S_{\alpha }}}\sigma _{n}(\alpha a)}$;
• подера: ${\displaystyle \sigma _{n}(a){\xrightarrow {P}}\sigma _{n/(n+1)}(a)}$;
• инверсия: ${\displaystyle \sigma _{n}(a){\xrightarrow {I_{R}}}\sigma _{-n}(R/a)}$;
• комплексная степень: ${\displaystyle \sigma _{n}(a){\xrightarrow {M_{\alpha }}}\sigma _{n/\alpha }(a^{1/\alpha })}$.

${\displaystyle f}$	Подерное уравнение	Название
${\displaystyle \exp }$	${\displaystyle p={\frac {l}{\sqrt {1+l^{2}}}}r}$	Логарифмическая спираль
${\displaystyle \operatorname {Id} }$	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {l^{2}c^{2/\alpha }}{r^{2\alpha +2}}}}$	Спираль
${\displaystyle \sin ,\cos }$	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-l^{2}}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{2\alpha +2}}}}$	sin-спирали (гармоники синусоидальных спиралей)
${\displaystyle \operatorname {sh} }$	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1+l^{2}}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{2\alpha +2}}}}$	sinh-спирали
${\displaystyle \operatorname {sn} }$	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-l^{2}(k^{2}+1)}{r^{2}}}+{\frac {l^{4}k^{2}c^{-2}}{r^{2\alpha -2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{2\alpha +2}}}}$	Эллиптические синусоидальные спирали

Все f-спирали инвариантны относительно масштабирования, комплексной степени и гармонических преобразований.

Рассмотрим движение пробной частицы в плоскости под действием центральной силы с потенциалом ${\displaystyle F(\|x\|^{2})}$ и лоренц-подобной (магнитной) силы с потенциалом ${\displaystyle G(\|x\|^{2})}$. Уравнение движения имеет вид:

${\displaystyle {\ddot {x}}=F'(\|x\|^{2})x+2G'(\|x\|^{2}){\dot {x}}^{\perp }.}$

В такой системе сохраняются обобщённый момент импульса ${\displaystyle L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(\|x\|^{2})}$ и величина ${\displaystyle c=\|{\dot {x}}\|^{2}-F(\|x\|^{2})}$, связанная с полной энергией частицы.

Как показал П. Блашке, траектория частицы в подерных координатах ${\displaystyle (r,p)}$ удовлетворяет алгебраическому уравнению, не требующему интегрирования дифференциальных уравнений^[7]:

${\displaystyle {\frac {(L-G(r^{2}))^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c.}$

В чисто центральном поле (${\displaystyle G\equiv 0}$) это соотношение принимает особенно прозрачный вид:

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c.}$

Эту формулу можно интерпретировать геометрически: в центральном силовом поле потенциальная энергия частицы обратно пропорциональна квадрату расстояния от полюса до касательной к её траектории.

Для задачи Кеплера, где сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния (${\displaystyle F(r)=2M/r}$), подерное уравнение траектории принимает вид:

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{p^{2}}}={\frac {2M}{r}}+c.}$

Из этого уравнения непосредственно следует, что траекторией является коническое сечение (эллипс при ${\displaystyle c<0}$, парабола при ${\displaystyle c=0}$ и гипербола при ${\displaystyle c>0}$).

Более того, применение операции взятия двойственной кривой к этому уравнению даёт ${\displaystyle L^{2}/r^{2}=2Mp+c}$, что является уравнением окружности. Этот факт эквивалентен классическому результату Ньютона о том, что годограф вектора скорости в задаче Кеплера представляет собой окружность. В традиционном изложении этот результат выводится через сохранение вектора Рунге — Ленца, который в аппарате подерных координат просто не требуется^[7].

Подерные координаты позволяют легко решать и обратную задачу: находить закон силы, необходимый для движения по заданной кривой. Например, если предположить (как это исторически делал Дж. Д. Кассини), что орбиты планет являются овалами Кассини, то их подерное уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {(3C^{2}+r^{4}-\|a\|^{2}r^{2})^{2}}{p^{2}}}=4C^{2}\left({\frac {2C^{2}}{r^{2}}}+2r^{2}-\|a\|^{2}\right).}$

Сопоставляя это с основной теоремой, можно алгебраически восстановить соответствующий закон силы, который оказывается весьма отличным от ньютоновского закона всемирного тяготения^[7].

Движение пробной частицы в шварцшильдовском поле (задача Кеплера в ОТО) описывается сложным дифференциальным уравнением, которое в подерных координатах сводится к виду^[7]:

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}=d+{\frac {r_{s}}{a^{2}r}}+{\frac {r_{s}}{r^{3}}},}$

где ${\displaystyle r_{s}}$ — гравитационный радиус (радиус Шварцшильда), а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle d}$ — константы, зависящие от энергии и момента импульса частицы. Анализ этого уравнения показывает, что релятивистские орбиты дуально параллельны семейству эллиптических спиралей. Это позволяет строго классифицировать все типы траекторий, включая условия захвата частицы центральной сингулярностью, без привлечения численных методов.

Подерные координаты находят применение и в современных астрофизических моделях. Рассмотрим обобщение задачи Кеплера, включающее гравитационное влияние центрального тела (${\displaystyle M}$), однородного сферического гало тёмной материи (член ${\displaystyle \omega ^{2}r}$) и отталкивающий эффект тёмной энергии (член ${\displaystyle F}$). Уравнение траектории принимает вид^[7]:

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{p^{2}}}={\frac {2M}{r}}+2Fr-\omega ^{2}r^{2}+c.}$

При переходе во вращающуюся систему отсчёта и наложении условия связи между параметрами (${\displaystyle F^{2}L^{2}=\omega ^{2}M^{2}}$) это уравнение в точности совпадает с подерным уравнением овала Декарта. Таким образом, овалы Декарта оказываются точными аналитическими решениями «тёмной задачи Кеплера» в подходящей вращающейся системе координат.