Поверхность Цолля

Обычная сфера, очевидно, является поверхностью Цолля, но им обладает также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:^[2]

• Пусть ${\displaystyle h\colon [-1,1]\to (-1,1)}$ есть нечётной гладкая функция, такая, что ${\displaystyle h(1)=0}$. Тогда сфера с метрикой

  ${\displaystyle (1+h(\cos r))\cdot (dr)^{2}+\sin r\cdot (d\theta )^{2}}$

заданной в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$ есть поверхность Цолля.

Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.

Следующий результат даёт несимметричные примеры:^[3]

• Для любой нечётной гладкой функции ${\displaystyle f}$ на единичной сфере ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{2},g_{0})}$ существуют однопараметрическое семейство конформных факторов ${\displaystyle \phi _{t}}$ таких, что ${\displaystyle g_{t}=\phi _{t}\cdot g_{0}}$ есть поверхность Цолля и ${\displaystyle f={\tfrac {\partial \phi _{t}}{\partial t}}|_{t=0}}$.

В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера.