Перевод чисел между системами счисления

В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую.

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно представить данное число в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры этого числа и основания системы счисления, из которой производится перевод, возведённое в степень, соответствующую позиции цифры в числе, причем отчёт цифр идет справа налево:

${\displaystyle X_{S}=A_{n-1}\cdot S^{n-1}+A_{n-2}\cdot S^{n-2}+...+A_{1}\cdot S^{1}+A_{0}\cdot S^{0}+A_{-1}\cdot S^{-1}+...+A_{-m}\cdot S^{-m}}$

где:

• ${\displaystyle X_{S}}$ — число в ${\displaystyle S}$-й системе счисления
• ${\displaystyle S}$ — основание системы
• ${\displaystyle A}$ — цифра числа
• ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ — число целых и дробных разрядов соответственно.

Например, переведём двоичное число один ноль один в десятичное:

${\displaystyle 101_{2}=1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=4+0+1=5_{10}}$

Для дробных разрядов ${\displaystyle m}$ — отрицательный.

Пример: ${\displaystyle 0,0011_{2}}$

${\displaystyle 0,0011_{2}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}+1\cdot 2^{-4}=0+0+0+0,125+0,0625=0,1875_{10}}$

Для перевода числа из десятичной системы счисления в другую его необходимо последовательно делить на основание системы счисления до получения целого остатка, меньше, чем основание системы счисления или равный ${\displaystyle 1}$. При этом остатки от деления записываются, начиная с последнего.

• Пример, перевод из десятичной системы счисления в двоичную числа ${\displaystyle 5_{10}}$:

${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$
		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Полученные остатки записываем в обратном порядке: ${\displaystyle 101_{2}}$

• Пример, перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную числа ${\displaystyle 75_{10}}$:

${\displaystyle 75}$	${\displaystyle 8}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 8}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 8}$
		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Полученные остатки записываем в обратном порядке: ${\displaystyle 113_{8}}$

• Пример, перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему числа ${\displaystyle 75_{10}}$:

${\displaystyle 75}$	${\displaystyle 16}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 16}$
	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$

Полученные остатки записываем в обратном порядке (${\displaystyle 11_{10}}$ → ${\displaystyle B_{16}}$): ${\displaystyle 4B_{16}}$

Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую её требуется перевести. Умножение повторяется до тех пор, пока не получится целое число, либо до необходимого количества знаков после запятой. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример, перевод десятичной дроби ${\displaystyle 0,1875_{10}}$:

• в двоичную:

${\displaystyle 0,}$	${\displaystyle 1875}$ x ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 375}$ x ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 75}$ x ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 5}$ x ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0,1875\cdot 2=}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,375}$ → ${\displaystyle 0,375\cdot 2=}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,75}$ → ${\displaystyle 0,75\cdot 2=}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle ,5}$ → ${\displaystyle 0,5\cdot 2=}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle ,0}$

Результат: ${\displaystyle 0,0011_{2}}$

• в восьмеричную:

${\displaystyle 0,}$	${\displaystyle 1875}$ x ${\displaystyle 8}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 5}$ x ${\displaystyle 8}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0,1875\cdot 8=}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle ,5}$ → ${\displaystyle 0,5\cdot 8=}$ ${\displaystyle 4}$Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://ru.ruwiki.ru/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Expected width > 0.»): {\displaystyle } ${\displaystyle ,0}$

Результат: ${\displaystyle 0,14_{8}}$

• в шестнадцатеричную:

${\displaystyle 0,}$	${\displaystyle 1875}$ x ${\displaystyle 16}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0,1875\cdot 16=}$ ${\displaystyle 3}$${\displaystyle ,0}$

Результат: ${\displaystyle 0,3_{16}}$

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями.

Пример: ${\displaystyle 1001011101111_{2}}$

Результат: ${\displaystyle 1001011101111_{2}=11357_{8}}$

Пример: ${\displaystyle 10010111,01111_{2}}$

Результат: ${\displaystyle 10010111,01111_{2}=127,36_{8}}$

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четвёрки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями.

Пример: ${\displaystyle 1001011101111_{2}}$

Результат: ${\displaystyle 1001011101111_{2}=12EF_{16}}$

Пример: ${\displaystyle 100101,1101111_{2}}$

Результат: ${\displaystyle 100101,1101111_{2}=25,DE_{16}}$

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную следует каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную требуется каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Цифры числа исходной системы счисления заменяются (слева направо) на эквивалентную комбинацию цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на комбинацию цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры), эквивалентную числу требуемой системы счисления (пары, триады, тетрады ...). Последняя (самая левая) комбинация может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем полученные комбинации заменяются на соответствующие цифры требуемой системы счисления.

Пример: перевод числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:

${\displaystyle 11357_{8}=1001011101111_{2}=12EF_{16}}$