Паросочетание

Пусть дан граф G = (V,E), паросочетание M в G — это множество попарно несмежных рёбер, то есть рёбер, не имеющих общих вершин, то есть ${\displaystyle \forall e,f\in M:e\cap f=\emptyset }$.

Максимальное паросочетание — это такое паросочетание M в графе G, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа, то есть к нему невозможно добавить ни одно ребро, которое бы являлось несмежным ко всем рёбрам паросочетания. Другими словами, паросочетание M графа G является максимальным, если любое ребро в G имеет непустое пересечение, по крайней мере, с одним ребром из M. Ниже приведены примеры максимальных паросочетаний (красные рёбра) в трёх графах^[1].

Наибольшее паросочетание (или максимальное по размеру паросочетание^[2])— это такое паросочетание, которое содержит максимальное количество рёбер. Число паросочетания^[3] ${\displaystyle \nu (G)}$ графа ${\displaystyle G}$ — это число рёбер в наибольшем паросочетании. У графа может быть множество наибольших паросочетаний. При этом любое наибольшее паросочетание является максимальным, но не любое максимальное будет наибольшим. Следующие три рисунка показывают наибольшие паросочетания в тех же трёх графах^[1].

Некоторые авторы используют термин «максимальное паросочетание» для наибольшего паросочетания^[4][5][6][7].

Совершенным паросочетанием (или 1-фактором) называется паросочетание, в котором участвуют все вершины графа. То есть любая вершина графа инцидентна ровно одному ребру, входящему в паросочетание. Фигура (b) на рисунке выше является примером такого паросочетания. Любое совершенное паросочетание является наибольшим и максимальным. Совершенное паросочетание является также рёберным покрытием минимального размера. В общем случае ${\displaystyle \nu (G)\leq \rho (G)}$, где ${\displaystyle \rho (G)}$ — число рёберного покрытия графа ${\displaystyle G}$, иными словами, размер наибольшего паросочетания не превосходит размера наименьшего рёберного покрытия.

Почти совершенным паросочетанием называется паросочетание, в котором не участвует ровно одна вершина. Это может произойти, если граф имеет нечётное число вершин. На рисунке выше паросочетание в графе (c) является почти совершенным. Если для любой вершины в графе существует почти совершенное паросочетание, не содержащее именно эту вершину, граф называется факторно-критическим.

Пусть задано паросочетание M.

• чередующийся путь — это путь, в котором рёбра поочерёдно принадлежат паросочетанию и не принадлежат ему.
• пополняющий путь (или увеличивающий путь) — это чередующийся путь, начинающийся и кончающийся свободными вершинами (то есть не участвующими в паросочетании).

Лемма Бержа утверждает, что паросочетание является наибольшим в том и только в том случае, если не существует пополняющего пути.

• Число совершенных паросочетаний в двудольном графе равно перманенту его матрицы смежности.
• В любом графе без изолированных вершин число паросочетания и число рёберного покрытия в сумме дают число вершин^[8].
  • В частности, если существует совершенное паросочетание, то оба числа равны |V| / 2.

• Если A и B — два максимальных паросочетания, то |A| ≤ 2|B| и |B| ≤ 2|A|. Чтобы это увидеть, заметьте, что каждое ребро из B \ A может быть сопряжено максимум двум рёбрам из A \ B поскольку A — паросочетание. Однако каждое ребро A \ B сопряжено с ребром B \ A ввиду того, что B — максимальное. Следовательно,

  ${\displaystyle |A\setminus B|\leq 2|B\setminus A|}$

Далее мы имеем

${\displaystyle |A|=|A\cap B|+|A\setminus B|\leq 2|B\cap A|+2|B\setminus A|=2|B|}$

• В частности, отсюда вытекает, что любое максимальное паросочетание является 2-аппроксимацией наибольшего паросочетания, а также 2-аппроксимацией минимального максимального паросочетания. Это неравенство точное. Например, если G — путь с тремя рёбрами и 4 вершинами, минимальный размер максимального паросочетания равен 1, а размер наибольшего паросочетания равен 2.

Производящая функция числа k-рёберных паросочетаний в графе называется многочлен паросочетаний. Пусть G — граф и m_k — число k-рёберных паросочетаний. Полиномом паросочетаний графа G будет

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}m_{k}x^{k}}$

Есть другое определение полинома паросочетаний

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k}m_{k}x^{n-2k}}$,

где n — число вершин в графе. Оба определения имеют свои области применения.

Задачи нахождения паросочетания часто возникают при работе с двудольными графами. Поиск наибольшего паросочетания в двудольном графе^[9] ${\displaystyle G=(V=(X,Y),E)}$ является, пожалуй, простейшей задачей. Алгоритм пополняющего пути получает его, находя пополняющий путь из каждой вершины ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle Y}$ и добавляя его в паросочетание, если путь будет найден. Альтернативный способ решения заключается в том, что паросочетание будет дополняться до тех пор, пока существуют расширяющие дополняющие пути:

1. Установи ${\displaystyle M=\emptyset }$.
2. Пока имеются расширяющие пополняющие пути ${\displaystyle P}$:
   1. ${\displaystyle M=M\oplus E(P)}$

Пополняющий путь — это путь вида ${\displaystyle v_{0},\{v_{0},v_{1}\},v_{1},\{v_{1},v_{2}\},v_{2},\dots ,v_{l-1},\{v_{l-1},v_{l}\},v_{l}}$, для которого истинно ${\displaystyle \{v_{i-1},v_{i}\}\in M\Leftrightarrow \{v_{i},v_{i+1}\}\notin M}$ при ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant l}$. Пополняющий путь называется расширяющим, если ${\displaystyle v_{0},v_{l}\notin M}$.

Лемма: Для любого графа ${\displaystyle G=(V,E)}$, паросочетания ${\displaystyle M}$ и пополняющего пути ${\displaystyle P}$ справедливо ${\displaystyle M\oplus E(P)}$ паросочетание и ${\displaystyle |M\oplus E(P)|=|M|+1}$. Доказательство: Пусть ${\displaystyle G'=(V,M)}$, ${\displaystyle G''=(V,M\oplus E(P))}$ и ${\displaystyle v}$ — начальная вершина ${\displaystyle P}$, так что ${\displaystyle \delta _{G'}(v)=0}$ и ${\displaystyle \delta _{G''}(v)=1}$, а также ${\displaystyle w}$ — последняя вершина ${\displaystyle P}$, так что ${\displaystyle \delta _{G'}(w)=0}$ и ${\displaystyle \delta _{G''}(w)=1}$, и ${\displaystyle u}$ — промежуточная вершина ${\displaystyle P}$, так что ${\displaystyle \delta _{G'}(u)=\delta _{G''}(u)=1}$. Из этого следует, что в граф будет добавлено на одно ребро больше, чем удалено из него.

Лемма: Для любого графа ${\displaystyle G=(V,E)}$ и паросочетаний ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ таких, что ${\displaystyle |M|<|N|}$ справедливо следующее: граф ${\displaystyle H=(V,M\oplus N)}$ содержит минимум ${\displaystyle |N|-|M|}$ не пересекающихся в вершинах пополняющих путей относительно ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle G}$. Доказательство: Пусть ${\displaystyle G_{M}=(V,M)}$ и ${\displaystyle G_{N}=(V,N)}$, при этом действительно ${\displaystyle \delta (G_{M})\subset \{0,1\}}$ и ${\displaystyle \delta (G_{N})\subset \{0,1\}}$ и таким образом следует ${\displaystyle \delta (H)\subset \{0,1,2\}}$. Пусть ${\displaystyle G_{i}=(V,E_{i})}$ при ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant g}$ компоненты связности графа ${\displaystyle H}$. Из ${\displaystyle \delta (H)\subset \{0,1,2\}}$ следует

• ${\displaystyle G_{i}}$ является изолированной вершиной или
• ${\displaystyle G_{i}}$ является циклом четной длины или
• ${\displaystyle G_{i}}$ является путем четной длины или
• ${\displaystyle G_{i}}$ является путем нечетной длины

Вершины в ${\displaystyle G_{i}}$ происходят попеременно из ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$. Пусть ${\displaystyle d(G_{i})=|E_{i}\cap N|-|E_{i}\cap M|\subset \{-1,0,1\}}$

, а ${\displaystyle d(G_{i})=1}$ только если ${\displaystyle G_{i}}$ — пополняющий путь. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{g}d(G_{i})=|N\setminus M|-|M\setminus N|=|N|-|M|}$ и это означает, что должно существовать минимум ${\displaystyle |N|-|M|}$ компонент ${\displaystyle G_{i}}$ с ${\displaystyle d(G_{i})=1}$ и, как следствие, дополняющих путей. Согласно определению компонент связности, такие дополняющи пути не будут пересекаться в вершинах.

Найти дополняющий путь можно следующим образом:

1. Даны ${\displaystyle G=(V,W,E)}$ двудольный граф и паросочетание ${\displaystyle M}$.
2. Создай ${\displaystyle G'=(V\cup W,E'\cup E'')}$, где
   1. ${\displaystyle E'=\{(v,w)\mid \{v,w\}\in E\setminus M\land v\in V\land w\in W\}}$
   2. ${\displaystyle E''=\{(w,v)\mid \{v,w\}\in M\land v\in V\land w\in W\}}$
3. Поиск дополняющего пути сводится к поиску в ${\displaystyle G'}$ из свободной вершины ${\displaystyle v\in V}$ в свободную вершину ${\displaystyle w\in W}$.

Поскольку пополняющий путь может быть найден за ${\displaystyle O(|E|)}$ — время поиска в глубину, время работы алгоритма составит ${\displaystyle O(|V||E|)}$. Это решение эквивалентно добавлению суперисточника ${\displaystyle s}$ с рёбрами ко всем вершинам ${\displaystyle X}$, и суперстока ${\displaystyle t}$ с рёбрами из всех вершин ${\displaystyle Y}$ (трансформация графа займет ${\displaystyle O(n+m)}$, и поиску максимального потока из ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle t}$. Все рёбра, по которым идёт поток из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, образуют максимальное паросочетание, а размер наибольшего паросочетания будет равен величине потока. Несколько быстрее работает алгоритм Хопкрофта — Карпа, работающий за время ${\displaystyle O({\sqrt {V}}E)}$. Другой подход базируется на алгоритме быстрого умножения матриц и даёт сложность ${\displaystyle O(V^{2.376})}$^[10], что в теории лучше для достаточно плотных графов, но на практике алгоритм медленнее.^[11]

Во взвешенном двудольном графе каждому ребру приписывается вес. Паросочетание максимального веса в двудольном графе^[9] определяется как паросочетание, для которого сумма весов рёбер паросочетания имеет максимальное значение. Если граф не является полным двудольным, отсутствующие рёбра добавляются с нулевым весом. Задача поиска такого паросочетания известна как задача о назначениях. Замечательный венгерский алгоритм решает задачу о назначениях и был одним из первых алгоритмов комбинаторной оптимизации. Задача может быть решена с помощью модифицированного поиска кратчайшего пути в алгоритме пополняющего пути. Если используется алгоритм Беллмана — Форда, время работы будет ${\displaystyle O(V^{2}E)}$, или цену ребра можно сдвинуть для достижения времени ${\displaystyle O(V^{2}\log {V}+VE)}$ при применении алгоритма Дейкстры с Фибоначчиевой кучей^[12]. ^[13]

Имеется алгоритм полиномиального времени для нахождения наибольшего паросочетания или паросочетания максимального веса в графе, не являющемся двудольным. Следуя Джеку Эдмондсу его называют методом путей, деревьев и цветов или просто алгоритмом Эдмондса для паросочетаний. Алгоритм использует двунаправленные дуги. Обобщение той же техники может быть использовано для поиска максимального независимого множества в графах без клешней. Алгоритм Эдмодса был впоследствии улучшен до времени работы ${\displaystyle O({\sqrt {V}}E)}$, что соответствует алгоритмам для двудольных графов^[14]. Другой (рандомизированный) алгоритм, разработанный Муча и Санковсим (Mucha, Sankowski)^[10], основанный на быстром произведении матриц, даёт сложность ${\displaystyle O(V^{2.376})}$.

Максимальное паросочетание можно найти простым жадным алгоритмом. Cамым большим максимальным паросочетанием является наибольшее паросочетание, которое может быть найдено за полиномиальное время. Pеализация с использованием псевдокода:

1. Дан граф ${\displaystyle G=(V,E)}$.
2. Установи ${\displaystyle M=\emptyset }$.
3. Пока множество ${\displaystyle E}$ не пустое:
   1. Выбери ${\displaystyle e\in E}$.
   2. Установи ${\displaystyle M=M\cup \{e\}}$.
   3. Установи ${\displaystyle E=\{e'\in E\mid e'\cap e=\emptyset \}}$.
4. Выведи ${\displaystyle M}$.

Однако неизвестно никакого полиномиального по времени алгоритма для нахождения наименьшего максимального паросочетания, то есть максимального паросочетания, содержащего наименьшее возможное число рёбер.

Заметим, что наибольшее паросочетание из k рёбер является рёберным доминирующим множеством с k рёбрами. И обратно, если задано минимальное рёберное доминирующее множество с k рёбрами, мы можем построить наибольшее паросочетание с k рёбрами за полиномиальное время. Таким образом, задача нахождения минимального по размеру максимального паросочетания эквивалентна задаче нахождения минимального рёберного доминирующего множества^[15]. Обе эти задачи оптимизации известны как NP-трудные, а их распознавательные версии являются классическими примерами NP-полных задач^[16]. Обе задачи могут быть аппроксимированы с коэффициентом 2 с полиномиальным временм — просто находим произвольное максимальное паросочетание M^[17].

Число паросочетаний в графе известно как индекс Хосойи. Вычисление этого числа является #P-полной задачей. Задача остаётся #P-полной в специальном случае перечисления совершенных паросочетаний в двудольном графе, поскольку вычисление перманента случайной 0-1 матрицы (другая #P-полная задача) — это то же самое, что вычисление числа совершенных паросочетаний в двудольном графе, имеющем заданную матрицу в качестве матрицы смежности. Существует, однако, рандомизированная аппроксимационная схема полиномиального времени для вычисления числа паросочетаний в двудольном графе^[18]. Замечательная теорема Кастелейна, утверждающая, что число совершенных паросочетаний в планарном графе может быть вычислено в точности за полиномиальное время с помощью алгоритма FKT.

Число совершенных паросочетаний в полном графе K_n (с чётным n) задаётся двойным факториалом (n − 1)!!^[19]. Число паросочетаний в полном графе без ограничения, чтобы паросочетание было совершенным, задаётся телефонными номерами^[20].

Одной из основных задач в теории паросочетаний является поиск всех рёбер, которые могут быть расширены до наибольшего паросочетания. Лучший детерминированный алгоритм решения этой задачи работает за время ${\displaystyle O(VE)}$^[21]. Существует рандомизированный алгоритм, решающий задачу за время ${\displaystyle {\tilde {O}}(V^{2.376})}$^[22]. В случае двудольного графа можно найти наибольшее паросочетание и использовать его для нахождения всех максимально-паросочетаемых рёбер за линейное время^[23]; что даст в результате ${\displaystyle O(V^{1/2}E)}$ для общих двудольных графов и ${\displaystyle O((V/\log V)^{1/2}E)}$ для плотных двудольных графов с ${\displaystyle E=\Theta (V^{2})}$. В случае, если одно из наибольших паросочетаний известно заранее^[24], общее время работы алгоритма будет ${\displaystyle O(V+E)}$.

Теорема Кёнига утверждает, что в двудольных графах размер наибольшего паросочетания равно размеру наименьшего вершинного покрытия. Из этого следует, что для двудольных графов задачи нахождения наименьшего вершинного покрытия, наибольшего независимого множества, и максимальной вершинной биклики могут быть решены за полиномиальное время.

Теорема Холла (или теорема о свадьбах) обеспечивает характеризацию двудольных графов, имеющих совершенные паросочетания, а теорема Татта даёт характеризацию произвольных графов.

Совершенное паросочетание порождает остовный 1-регулярный подграф, то есть 1-фактор. В общем случае остовный k-регулярный подграф — это k-фактор.

Структурная формула Кекуле ароматических соединений состоит из совершенных паросочетаний их углеродного скелета, показывая местоположение двойных связей в химической структуре. Эти структуры названы в честь Фридриха Августа Кекуле, который показал, что бензол (в терминах теории графов — это цикл из 6 вершин) может быть представлен в виде такой структуры^[25].

Индекс Хосойи — это число непустых паросочетаний плюс единица. Он применяется в вычислительной и математической химии для исследования органических соединений.

1. László Lovász, Michael D. Plummer. Matching Theory. — North-Holland, 1986. — ISBN 0-444-87916-1.
2. Introduction to Algorithms. — second. — MIT Press and McGraw–Hill, 2001. — ISBN 0-262-53196-8.

1. S. J. Cyvin, Ivan Gutman. Kekule Structures in Benzenoid Hydrocarbons. — Springer-Verlag, 1988.
2. Marek Karpinski, Wojciech Rytter. Fast Parallel Algorithms for Graph Matching Problems. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-850162-6.