Оси инерции

В отсутствие внешних сил материальная точка и твёрдое тело совершают т. н. свободное движение или находятся в покое^[2]. Однако, для материальной точки описание такого движения (равномерного и прямолинейного) достаточно просто, а для твёрдого тела, при наличии вращения, — значительно более сложное^[3].

Для описания движения вращающегося твёрдого тела, двигающегося поступательно, движение разделяют на два независимых движения (поступательное и вращательное) и описывают по отдельности. С описанием поступательного движения твёрдого тела применяют тот же математический аппарат, что и для материальной точки, а для вращательного движения вводят новые элементы описания, в частности, оси инерции, и строят инерциальную систему отсчёта, в которой центр масс находится в покое, а вращение происходит вокруг этой неподвижной точки.

Впервые понятие осей инерции ввёл Эйлер в своей работе «Корабельные науки»^[4]:

В последующих работах Эйлер, в поисках минимального количества осей инерции для вращающегося твёрдого тела, сформулировал понятие главных осей инерции как оси, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения. Выяснилось, что экстремум достигается при обращении в ноль центробежных моментов инерции тела, и тогда такие оси называются главными осями инерции тела. После этого Эйлер доказал, что таких осей, проходящих через центр масс, существует только три, и моменты инерции относительно этих осей он назвал главными моментами инерции тела. Поскольку эти оси ортогональны друг другу, их можно использовать как оси координат, при этом центробежные моменты обращаются в ноль, а момент инерции вокруг осей описывается с помощью углов ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle I=Ma^{2}\cos {\alpha }+Mb^{2}\cos {\beta }+Mc^{2}\cos {\gamma }}$,

где ${\displaystyle Ma^{2}}$, ${\displaystyle Mb^{2}}$ и ${\displaystyle Mc^{2}}$ не являются функциями времени, а зависят только от распределения масс в данном твёрдом теле.

Другими словами, оси, относительно которых момент инерции обращается в ноль, называются главными осями инерции, а если в точку их пересечения поместить центр масс твёрдого тела, то такие оси называются главными осями инерции данного твёрдого тела.

Иногда для описания вращательного движения твёрдого тела используют тензор инерции в главных осях инерции:

${\displaystyle I_{\text{гл}}={\begin{Bmatrix}I_{x}&0&0\\0&I_{z}&0\\0&0&I_{z}\end{Bmatrix}}}$.