Ортополюс

Везде ниже в тексте ортополюсу P соответствует ортополюс H на рис. справа, а прямой ℓ ортополюса P на том же рис. соответствует прямая A ′ C ′.

• Если прямая ℓ ортополюса P проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника^[7].
• Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника^[8].

• Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трёх окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику^[9].

• Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника^[3][10].
• Из последнего свойства следует, что для данного треугольника геометрическим местом точек — всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через центр описанной окружности треугольника, является окружность Эйлера этого треугольника.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q^[11].
• Для данного треугольника геометрическим местом точек — всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через фиксированную точку, лежащую на описанной окружности треугольника, является прямая (отрезок).

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей^[3].
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ^[3].

• Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то её ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению^[3].
• Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми^[12].

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трёх вершин четырёхугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырёхугольника^[13].

• Известно (см.^[14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов ${\displaystyle O_{PQ}}$ для всех прямых ${\displaystyle PQ}$, проходящих через неподвижную точку ${\displaystyle P}$, порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка ${\displaystyle P}$ находится на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье^[16], согласно которому для точки ${\displaystyle P}$, совпадающей с центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ треугольника, коника становится окружностью Эйлера^[17].
• Замечание. В данной статье в параграфе «Ортополюс и описанная окружность» упомянутое выше свойство звучит так:

Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника^[3][18].

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C}}$, касающиеся соответственно 3 разных сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника или их продолжений, — называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers)^[19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трёхкасательные центры^[20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность — по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точка Фейербаха может быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся её окружности Эйлера^[21].

Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках^[22].

Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает (см. Теорема Штейнера об ортологических треугольниках), что, если Δ ABC ортологичен Δ A’B’C' , то это эквивалентно тому, что Δ A’B’C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса' проекции вершин треугольника ABC на прямую линию ℓ — точки A, B' , C'  — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удалённой точке.

• Треугольники ортологические — треугольники ABC и A₁B₁C₁, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.

Данное в самом начале определение ортополюса в книге Ефремова называется теоремой Сунса^[25].