Обобщённый интеграл энергии

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}$

имеют обобщённый интеграл энергии^[2]:

${\displaystyle h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L}$

Рассмотрим голономную систему, имеющую ${\displaystyle s}$ степеней свободы, с функцией Лагранжа

${\displaystyle L=L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)}$,

зависящей от обобщённых координат ${\displaystyle q_{m}}$, обобщённых скоростей ${\displaystyle {\dot {q}}_{m}}$ и времени ${\displaystyle t}$, здесь и ниже всюду ${\displaystyle m=1,2,...,s}$.

Дифференцируя по времени функцию ${\displaystyle L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)}$, получаем

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}}$.

Из уравнений Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)}$.

Тогда получаем:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}\right)}$.

Пользуясь этим, имеем:

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}}$

Или:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$.

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$ и ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0}$

Из этого следует:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L=h}$

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби^[2].