Область действия (логика)

Область действия логической связки, встречающейся в формуле, — это наименьшая правильная формула, содержащая данную связку. Связка с наибольшей областью действия в формуле называется доминирующей связкой^[6][7] (или главной связкой^[8], главным оператором^[2], основной связкой^[4] или принципиальной связкой^[4]); связка, находящаяся в области действия другой связки, называется подчинённой ей.

Например, в формуле ${\displaystyle (\left(\left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\right)\leftrightarrow \left(\lnot \lnot P\land Q\right))}$ доминирующей связкой является ↔, а все остальные связки подчинены ей; → подчинена ∨, но не ∧; первая ¬ также подчинена ∨, но не →; вторая ¬ подчинена ∧, но не ∨ и не →; третья ¬ подчинена второй ¬, а также ∧, но не ∨ и не →. Если принять порядок приоритета связок, а именно: сначала применяется ¬, затем ∧ и ∨, затем →, и, наконец, ↔, то эту формулу можно записать в менее скобочной форме ${\displaystyle \left(P\rightarrow Q\right)\lor \lnot Q\leftrightarrow \lnot \lnot P\land Q}$, что некоторым может показаться более удобочитаемым.

Область действия квантора — это часть логического выражения, на которую распространяется действие квантора.^[3]. Это наименьшее полное высказывание^[5], записанное непосредственно после квантора^[3][5], часто в скобках^[3] некоторые авторы^[9]; включают сюда также переменную, следующую сразу после универсального или существующего квантора. В формуле ∀xP, например, P^[5] (или xP)^[9] является областью действия квантора ∀x^[5] (или ∀)^[9].

Это приводит к следующим определениям:

• Вхождение квантора ${\displaystyle \forall }$ или ${\displaystyle \exists }$, непосредственно следующего за переменной ${\displaystyle \xi }$, как в ${\displaystyle \forall \xi }$ или ${\displaystyle \exists \xi }$, называется ${\displaystyle \xi }$-связывающим^[1][5].
• Вхождение переменной ${\displaystyle \xi }$ в формуле ${\displaystyle \phi }$ является свободным в ${\displaystyle \phi }$ тогда и только тогда, когда оно не находится в области действия ни одного ${\displaystyle \xi }$-связывающего квантора в ${\displaystyle \phi }$; в противном случае оно связано в ${\displaystyle \phi }$^[1][5]
• Замкнутая формула — это формула, в которой ни одна переменная не встречается свободно^[10][1].
• Вхождение квантора ${\displaystyle \forall \xi }$ или ${\displaystyle \exists \xi }$ называется вакантным, если и только если его область действия — ${\displaystyle \forall \xi \psi }$ или ${\displaystyle \exists \xi \psi }$, и переменная ${\displaystyle \xi }$ не встречается свободно в ${\displaystyle \psi }$^[1]
• Переменная ${\displaystyle \zeta }$ свободна для переменной ${\displaystyle \xi }$ тогда и только тогда, когда ни одно свободное вхождение ${\displaystyle \xi }$ не находится в области действия квантификации по ${\displaystyle \zeta }$.^[10].
• Квантор, область действия которого содержит другой квантор, считается имеющим более широкую область действия, чем второй, который, в свою очередь, имеет более узкую область действия^[11].