Недоактуирование

Для понимания математических условий, приводящих к недоуправляемости, необходимо рассмотреть динамику, управляющую соответствующими системами. Законы Ньютона определяют, что динамика механических систем по своей природе является уравнением второго порядка. В общем виде эта динамика может быть описана вторым порядком дифференциального уравнения:
${\displaystyle {\ddot {q}}=f(q,{\dot {q}},u,t)}$

Где:

${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$ — вектор состояния положения,
${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ — вектор управляющих воздействий,
${\displaystyle t}$ — время.

Кроме того, во многих случаях динамика таких систем может быть переписана с аффинной зависимостью от управляющих воздействий:
${\displaystyle {\ddot {q}}=f_{1}(q,{\dot {q}},t)+f_{2}(q,{\dot {q}},t)u}$

В этой форме система считается недоуправляемой, если^[1]:
${\displaystyle \operatorname {rank} \left[{f_{2}(q,{\dot {q}},t)}\right]<\dim[q]}$

Когда это условие выполняется, существуют такие направления ускорения, которые не могут быть достигнуты ни при каком управляющем воздействии.

Следует отметить, что ${\displaystyle f_{2}(q,{\dot {q}},t)}$ не обязательно однозначно определяет число актуаторов (исполнительных механизмов) в системе. Действительно, исполнительных механизмов может быть больше, чем степеней свободы, и система всё равно может быть недоуправляемой. Также важно учитывать, что ${\displaystyle f_{2}(q,{\dot {q}},t)}$ зависит от состояния ${\displaystyle q,{\dot {q}}}$. Это означает, что могут существовать такие состояния, в которых в остальном полностью управляемая система становится недоуправляемой.

Классическим примером тривиально недоуправляемой системы является инвертированный маятник: у него две степени свободы (одна — для горизонтального движения платформы, другая — для углового движения маятника), но только одна из них (позиция тележки) приводится в действие напрямую, а другая управляется только косвенно. Несмотря на естественную высокую неустойчивость, такая недоуправляемая система остаётся управляемой.

Обычный автомобиль является недоуправляемым из-за неголономных ограничений, накладываемых колёсами: например, автомобиль не может ускоряться в направлении, перпендикулярном направлению вращения колёс. Аналогичные рассуждения справедливы для лодок, самолётов и большинства других транспортных средств.