Наибольшее и наименьшее значения функции (ЕГЭ-ОГЭ)

Всякая непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функция ограничена и имеет некую точку ${\displaystyle M}$, которая будет являться максимальным значением данной функции на промежутке, а также некую точку m, которая будет являться минимальным значением данной функции на промежутке.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ функции ${\displaystyle f(x)}$, нужно:

1. вычислить значение функции в каждой точке минимума (максимума) на этом отрезке;
2. вычислить значение функции на концах отрезка;
3. из полученных чисел выбрать наибольшее (наименьшее).

Если задан график рассматриваемой функции, то максимальным значением функции на заданном промежутке будет самая высокая точка на промежутке, а минимальным — самая низкая точка.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}+3}$ (см. график).

В зависимости промежутка рассмотрения функции, порядок нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке ${\displaystyle x\in [-1;0]}$

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: ${\displaystyle f(0)}$, а наименьшее — в левом: ${\displaystyle f(-1)}$.

2. Рассмотрим функцию на отрезке ${\displaystyle x\in [-1;1]}$

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума ${\displaystyle f(0)}$, а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения ${\displaystyle f(-1)}$ и ${\displaystyle f(1)}$ и выбрать из них наименьшее.

3. Рассмотрим функцию на отрезке ${\displaystyle x\in [-1;2]}$. Чтобы найти наибольшее значение, нужно сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть ${\displaystyle f(0)}$ и ${\displaystyle f(2)}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть ${\displaystyle f(4/3)}$ и ${\displaystyle f(-1)}$.