Модель ФитцХью — Нагумо

Изначально была получена^{[A: 1]} как результат обобщения уравнения ван дер Поля и модели, предложенной немецким химиком Карлом-Фридрихом Бонхёффером.

При помощи общепринятого преобразования Льенара^{[A: 2]}:

${\displaystyle y={\frac {\dot {x}}{c}}+{\frac {x^{3}}{3}}-x}$

ФитцХью переписал модель ван дер Поля в нормальной форме Коши:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=c(y+x-{\frac {x^{3}}{3}})\\{\dot {y}}=-{\frac {1}{c}}x.\end{cases}}}$

Далее, путём добавления новых членов, Р. ФитцХью получает систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую он обозначил как «модель Бонхёффера — ван дер Поля» (в оригинале: the Bonhoeffer-van der Pol model (BVP for short):

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=c(y+x-{\frac {x^{3}}{3}}+z)\\{\dot {y}}=-{\frac {1}{c}}(x-a+by),\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a,b>0}$. Для частного случая ${\displaystyle a=b=0}$ данная модель вырождается в осциллятор Ван дер Поля.

В 1991 г. Артур Уинфри^{[A: 3]} провёл исследование этой модели для случая двумерной среды, а также предложил классификацию вариантов записи этой модели разными авторами научных статей. Вариант записи модели, предложенный Р. ФитцХью,^{[A: 1]} соответствует формату 1, по А.Винфри. В формате 4^{[A: 4]} её можно переписать как

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon {\dot {x}}=y+x-{\frac {x^{3}}{3}}+z\\{\dot {y}}=by-x+a.\end{cases}}}$

В канонической форме она записывается^{[A: 4]} как

${\displaystyle \varepsilon {\ddot {x}}+(x^{2}-1){\dot {x}}+x-by-a=0}$.

С моделью Бохоффера—ван дер Поля, которую сам Р. ФитцХью представил в 1961 г., модель ФитцХью — Нагумо, обычно используемая в биологических науках, совпадает с точностью до знаков. В традициях моделирования физиологических процессов эта динамическая система записывается как:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}=u-{\frac {u^{3}}{3}}-v+I_{\rm {ext}}\\\tau {\dot {v}}=u+a-bv.\end{cases}}}$

где ${\displaystyle u}$ — безразмерная функция, аналогичная трансмембранному потенциалу в биологической возбудимой ткани, и ${\displaystyle v}$ — безразмерная функция, аналогичная медленному току восстановления. При определённом сочетании параметров системы уравнений наблюдается ответ по принципу «всё или ничего»: если внешний стимул ${\displaystyle I_{\text{ext}}}$ превышает определенное пороговое значение, система будет демонстрировать характерное возвратно-поступательное движение (экскурсию) в фазовом пространстве, до тех пока переменные ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$ не «релаксируют» до предыдущего состояния. Такое поведение характерно для спайков, возбуждённых в нейроне стимуляцией внешним входным сигналом.

Динамика этой системы может быть описана, как переключение между левой и правой ветвью кубической нуль-изоклины.

Эта модель является примером сингулярно возмущённых систем^{[B: 2]} и в ней возникают релаксационные колебания.

В то время как уравнение (и соответствующая система) ван дер Поля является концептуальной моделью предельного цикла, уравнение (и соответствующая система) Бонхёффера — ван дер Поля классифицируется как концептуальная модель автоволновых процессов. На её основе создано большое количество предметных, формально—кинетических, моделей химических и биологических колебательных систем. Широко используется в качестве «базовой модели для большого числа биофизических проблем».^[2]

В физиологии используется в качестве концептуальной математической модели поведение возбудимой ткани (например, нейрона). Модель ФитцХью — Нагумо можно рассматривать как упрощенную версию модели Ходжкина — Хаксли, которая довольно детально объясняет динамику активации и деактивации пульсирующего нейрона.

Высказано предположение^{[A: 4]}, что наиболее ранними наблюдениями «бифуркационной памяти» следует считать описанные в 1961 году ФитцХью^{[A: 1]} явления»: некоторая часть фазовых траекторий движется вдоль сепаратрисы. ФитцХью их обозначает словами «квазипороговые феномены», подчёркивая тем самым то обстоятельство, что полученные в его экспериментах результаты существенно отличались от тех, которые обычно наблюдались в экспериментальных работах по физиологии возбудимых тканей и которые были обозначены физиологами как «пороговый эффект» или ответ по принципу «всё или ничего».

Дополнительные результаты исследования бифуркационных явлений задержки и памяти в системе ФитцХью — Нагумо были опубликованы в 1989 году.^{[A: 5]}