Модель Барро

Модель основывается на АК-модели^[2][4], к которой добавляются государственные расходы. Модель с постоянной отдачей от масштаба фактора производства - капитала, точнее не от физического капитала, а от доли всего объёма выпуска, перенаправленного через государственный бюджет на создание общественных благ. Эти общественные блага увеличивают производительность частных фирм. Общественные блага — неконкурентны и не исключаемые из потребления^[3].

В модели Барро имеются допущения^[5]:

1. Потребители подобны одному репрезентативному домохозяйству, коэффициент дисконтирования которого агрегирован межвременным предпочтением всех домохозяйств.
2. Ставка налогообложения, определяющая уровень государственных расходов, задаётся центральным органом планирования, стремящимся максимизировать темп экономического роста.
3. Государство закупает часть выпускаемой продукции и использует её для обеспечения общественных благ частным производителям^[3].

Производственная функция имеет вид функции Коба-Дугласа^[6]:

${\displaystyle Y_{i}=AL_{i}^{1-a}K_{i}^{a}G^{1-a}}$,

где ${\displaystyle 0<a<1}$, ${\displaystyle G}$ — общественные блага (государственные закупки товаров и услуг), ${\displaystyle L_{i}=const}$ — используемая рабочая сила i-фирмой.

Государственный бюджет сбалансирован и финансируется подоходным налогом с фиксированной ставкой ${\displaystyle \tau }$^[3]:

${\displaystyle G=\tau Y}$.

Сбалансированный темп прироста равен^[3]:

${\displaystyle g=g_{c}=\sigma (r-\delta -\rho )=\sigma ((1-\tau )aA^{1/a}(L\tau )^{(1-a)/a}-\delta -\rho )}$,

где ${\displaystyle g=const=>0}$,

Таким образом, темп прироста ${\displaystyle g}$ зависит отрицательно от субъективной дисконтной ставки ${\displaystyle r}$ и нормы амортизации ${\displaystyle \delta }$, положительно от доли капитала в национальном доходе, технологического параметра ${\displaystyle a}$, зависит от эластичности замещения ${\displaystyle \sigma }$ (усиливающего коэффициента), зависит от поведенческого параметра ${\displaystyle \rho }$ и институционального параметра ${\displaystyle \tau }$^[3].

На темп прироста ${\displaystyle g}$ отрицательно влияет государственная политика в части налогообложения на предельный продукт капитала, но положительно в части предоставления общественных благ ${\displaystyle G}$ на предельный продукт ${\displaystyle \partial Y/\partial G}$. Сбалансированный темп роста зависит от доли государственного бюджета ${\displaystyle \tau =G/Y}$: при низкой доле — положительно, при высокой - отрицательно, существует оптимальный размер государственного бюджета^[3]:

${\displaystyle \tau =G/Y=1-a}$,

${\displaystyle max_{G}(Y-G)}$,

${\displaystyle \partial Y/\partial G-1=0}$.

${\displaystyle \partial Y/\partial G=1}$.

где при оптимальном размере государственного бюджета предельный продукт общественных благ (выгод) равен предельным общественным издержкам и единице. Предельный продукт общественных благ можно записать как:

${\displaystyle \partial Y/\partial G=(1-a)(Y/G)=(1-a)\tau }$.

Возникает эффект масштаба, то есть зависимость прироста подушевого продукта от численности населения. Чем больше производителей пользуются неконкурентным и неисключаемым общественным благом, тем больше эффект от его использования: затраты едины и, чем больше людей им воспользуются, тем меньше доля затрат на каждого.

Постоянная отдача от масштаба при одновременном росте запаса капитала и государственных расходов ведёт к эндогенному экономическому росту. Оптимальное отношение государственных закупок к ВВП в данной модели постоянно. Экономика получает выгоду от большего масштаба, потому что государственные расходы предполагаются неконкурентными, могут распространяться по новым их потребителям бесплатно. Увеличение ${\displaystyle A}$, из-за роста населения, приводит к увеличению подушевых темпов прироста. Согласно данным, темп прироста ВВП на душу населения мало связан с размером страны, определяемым численностью населения.