Начал выступать за молодёжную команду пражской «Спарты». На драфте НХЛ 2006 года был выбран во 2-м раунде под общим 34-м номером командой «Вашингтон Кэпиталз»[3]. Прошёл все этапы юниорского хоккея, вплоть до попадания в НХЛ. В начале своей профессиональной карьеры в Северной Америке выступал в АХЛ за команду «Херши Беарс». В составе этого клуба Нойвирт дважды стал обладателем Кубка Колдера (в сезонах 2008/09 и 2009/10), а в 2009 году был признан самым ценным игроком плей-офф АХЛ, получив награду «Джек Э. Баттерфилд Трофи»[3]. За карьеру в НХЛ он провёл 257 матчей в регулярных чемпионатах и 16 матчей в плей-офф, одержав в общей сложности 112 побед[4].
5 марта 2014 года «Вашингтон» обменял Нойвирта и защитника Ростислава Клеслу в «Баффало Сейбрз» на выбор в третьем раунде драфта 2015 года и вратаря Ярослава Галака[5].
2 марта 2015 года Нойвирт был обменян в «Нью-Йорк Айлендерс» на Чэда Джонсона и третий раунд драфта[6].
1 июля 2015 года Нойвирт подписал двухлетний контракт в качестве свободного агента с «Филадельфия Флайерз»[7]. 1 апреля 2017 года на 7:37 мин. первого периода игры против «Нью-Джерси Девилз» Нойвирт внезапно рухнул на лёд. Его увезли с площадки на носилках и доставили в ближайшую больницу. «Флайерз» объявили, что на следующий день он был выписан из больницы, а все тесты были нормальными[8]. Весной 2018 года Нойвирт перенёс двустороннюю артроскопическую операцию на бёдрах; восстановление после неё затянулось. После окончания сезона 2018/19 Нойвирт покинул «Филадельфию» по окончании контракта. Осенью 2019 года он попытался вернуться в НХЛ через просмотровый контракт с «Торонто Мейпл Лифс», однако из-за новой травмы смог провести на льду лишь два периода в предсезонных матчах. 24 сентября 2019 года клуб освободил его от пробного контракта.
В январе 2020 года подписал контракт с клубом Чешской экстралиги «Спарта». Однако из-за череды травм в период с 2019 по 2021 год Нойвирт так и не сыграл за пражский клуб ни одного матча, а действие его контракта завершилось 29 декабря 2020 года[3].
В 2005 году Михал Нойвирт выступил в составе юниорской сборной Чехии на турнире World Hockey Challenge (среди команд до 17 лет), сыграл на турнире в 5 матчах. В 2006 году играл за юниорскую сборную Чехии на чемпионате мира (до 18 лет), провёл 6 матчей и стал бронзовым призером соревнований. В 2008 году получил вызов в молодёжную сборную Чехии на чемпионат мира (до 20 лет), на котором провёл 4 матча. За основную сборную Чехии на крупных турнирах дебютировал на Кубке мира 2016 года, где был запасным вратарём и сыграл 1 матч[9][10].