Логарифмические уравнения (ЕГЭ-ОГЭ)

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$.

Из определения логарифма также вытекают следующие тождества:

${\displaystyle \log _{a}1=0}$,

${\displaystyle \log _{a}a=1}$,

${\displaystyle \log _{a}a^{b}=b}$.

	формула	пример
логарифм произведения	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
логарифм частного	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
логарифм степени	${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
степень в основании логарифма	${\displaystyle \log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1}$

Найдём корни логарифмического уравнения:

${\displaystyle \log _{3}(x^{2}+72)=4}$.

Решение:

1. Сначала укажем область допустимых значений: ${\displaystyle x^{2}+72>0}$ при всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

2. По определению логарифма:

${\displaystyle x^{2}+72=3^{4}}$;

${\displaystyle x^{2}+72=81}$;

${\displaystyle x^{2}-9=0}$;

${\displaystyle (x-3)(x+3)=0}$.

Ответ: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=-3}$.

Найдём решение логарифмического уравнения:

${\displaystyle \lg(x+1)+\lg(x+4)=1}$.

Решение:

1. Сначала определим область допустимых значений: ${\displaystyle x+1>0}$ и ${\displaystyle x+4>0}$, то есть ${\displaystyle x>-1}$ и ${\displaystyle x>-4}$. Таким образом ОДЗ: ${\displaystyle x\in (-1,+\infty )}$.

2. Применяя свойство логарифма, преобразуем левую часть:

${\displaystyle \lg(x+1)(x+4)=1}$.

Используя определение десятичного логарифма, преобразуем правую часть:

${\displaystyle \lg(x+1)(x+4)=\lg 10}$.

3. Приравняем аргументы логарифмов:

${\displaystyle (x+1)(x+4)=10}$.

4. Представим полученное равенство в виде квадратного уравнения:

${\displaystyle x^{2}+5x-6=0}$.

5. С учётом теоремы Виета:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-5\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{cases}}}$

откуда следует: ${\displaystyle x_{1}=-6}$, ${\displaystyle x_{2}=1}$. Однако значение ${\displaystyle x_{1}=-6}$ не удовлетворяет ОДЗ и отбрасывается. В итоге:

Ответ: ${\displaystyle x=1}$.