Логарифмические уравнения

Логарифми́ческие уравне́ния — уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Для упрощения и решения уравнения с логарифмами необходимо применять определение и свойства логарифмов.

Основное логарифмическое тождество:

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$.

Ещё несколько тождеств, очевидных из определения логарифма:

${\displaystyle \log _{a}1=0}$,

${\displaystyle \log _{a}a=1}$,

${\displaystyle \log _{a}a^{b}=b}$.

Логарифм произведения, частного, степени

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны^[1]:

	формула	пример
логарифм произведения	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
логарифм частного	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
логарифм степени	${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
степень в основании логарифма	${\displaystyle \log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1}$

Решить логарифмическое уравнение:

${\displaystyle log_{3}(x^{2}+72)=4}$.

Решение:

1. Определим область допустимых значений: ${\displaystyle x^{2}+72>0}$, для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

2. Согласно определению логарифма:

${\displaystyle x^{2}+72=3^{4}}$;

${\displaystyle x^{2}+72=81}$;

${\displaystyle x^{2}-9=0}$;

${\displaystyle (x-3)(x+3)=0}$; следовательно:

Ответ: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=-3}$.

Решить логарифмическое уравнение:

${\displaystyle \lg(x+1)+\lg(x+4)=1}$.

Решение:

1. Определим область допустимых значений: ${\displaystyle x+1>0}$ и ${\displaystyle x+4>0}$, то есть ${\displaystyle x>-1}$ и ${\displaystyle x>-4}$.

Таким образом ОДЗ: ${\displaystyle x\in (-1,+\infty )}$.

2. По свойству логарифма преобразуем левую часть:

${\displaystyle \lg(x+1)(x+4)=1}$.

По определению десятичного логарифма преобразуем правую часть:

${\displaystyle \lg(x+1)(x+4)=\lg 10}$.

3. Приравняем выражения под знаком логарифма:

${\displaystyle (x+1)(x+4)=10}$.

4. Запишем полученное выражение в виде квадратного уравнения:

${\displaystyle x^{2}+5x-6=0}$.

5. По теореме Виета:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-5\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{cases}}}$, откуда: ${\displaystyle x_{1}=-6}$, ${\displaystyle x_{2}=1}$.

Но ${\displaystyle x_{1}=-6}$ не является корнем уравнения, так как не принадлежит ОДЗ. Окончательно получаем:

Ответ: ${\displaystyle x=1}$.