Линейные представления в робототехнике

Артур Кэли и Юлиус Плюккер ввели альтернативное представление прямой с использованием двух свободных векторов, впоследствии получившее название координат Плюккера.
Представление Плюккера обозначается как ${\displaystyle L_{pl}(d,m)}$. Оба вектора ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle m}$ являются свободными: ${\displaystyle d}$ задаёт направление прямой, а ${\displaystyle m}$ — момент ${\displaystyle d}$ относительно выбранного начала отсчёта (${\displaystyle m=p\times d}$). При этом ${\displaystyle m}$ не зависит от выбора точки ${\displaystyle p}$ на прямой.
Преимущество координат Плюккера заключается в их однородности.
Однако и в этом случае из шести параметров остаются только четыре независимых: данное представление также не минимально. Накладываются два ограничения:

• ограничение однородности;
• ограничение ортогональности.

Жак Денавит и Ричард С. Хартенберг первыми предложили минимальное представление прямой, которое в настоящее время получило широкое распространение. Основным геометрическим понятием, позволившим Денавиту и Хартенбергу найти минимальное представление, является общая нормаль между двумя прямыми. Инженеры используют соглашение Денавита — Хартенберга (D-H) для однозначного описания положения звеньев и сочленений. Каждому звену назначается собственная система координат. При выборе системы координат учитываются следующие правила:

1. ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль оси сочленения;
2. ось ${\displaystyle x}$ параллельна общей нормали: ${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$
   Если единственная общая нормаль отсутствует (оси ${\displaystyle z}$ параллельны), то ${\displaystyle d}$ (см. ниже) становится свободным параметром;
3. ось ${\displaystyle y}$ определяется на основании ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle z}$ так, чтобы получилась правовращательная система координат.

После определения системы отсчёта взаимное положение звеньев однозначно описывается четырьмя параметрами:

• ${\displaystyle \theta \,}$ — угол поворота вокруг предыдущей оси ${\displaystyle z}$ от старой оси ${\displaystyle x}$ к новой оси ${\displaystyle x}$;
• ${\displaystyle d\,}$ — смещение вдоль предыдущей оси ${\displaystyle z}$ до общей нормали;
• ${\displaystyle r\,}$ — длина общей нормали (обозначается также ${\displaystyle a}$, но при использовании этого обозначения не следует путать с ${\displaystyle \alpha }$); для вращательного сочленения это радиус относительно предыдущей оси ${\displaystyle z}$;
• ${\displaystyle \alpha \,}$ — угол между предыдущей и новой осью ${\displaystyle z}$, измеряемый вокруг общей нормали.

Линейное представление Хаяти — Робертса, обозначаемое ${\displaystyle L_{hr}(e_{x},e_{y},l_{x},l_{y})}$, также относится к минимальным способам описания прямой. Его параметры:

• ${\displaystyle e_{x}}$ и ${\displaystyle e_{y}}$ — компоненты ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ единичного направляющего вектора ${\displaystyle e}$ прямой. Благодаря этому ${\displaystyle Z}$ компонента становится не нужна, так как ${\displaystyle e_{z}=(1-e_{x}^{2}-e_{y}^{2})^{\frac {1}{2}}}$;
• ${\displaystyle l_{x}}$ и ${\displaystyle l_{y}}$ — координаты точки пересечения прямой с плоскостью, проходящей через начало мировой системы координат и ортогональной этой прямой. Система координат на этой нормальной плоскости имеет то же начало, что и мировая система, а её оси ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ получаются проекцией мировых осей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ посредством параллельного проектирования вдоль прямой.

Это представление однозначно определяет ориентированную прямую. Сингулярности координатной системы отличаются от D-H: сингулярности возникают, когда прямая становится параллельна осям ${\displaystyle X}$ или ${\displaystyle Y}$ мировой системы.