Комплексные числа (ЕГЭ-ОГЭ)

• Действительная часть комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a}$.
• Мнимая часть комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Im} z=b}$.
• Множество комплексных чисел обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Комплексная плоскость — это плоскость в прямоугольной декартовой системе координат, на которой каждой точке соответствует комплексное число ${\displaystyle z=a+bi}$^[1].
• Модуль числа ${\displaystyle z=a+bi}$ определяется как ${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ и равен расстоянию от начала координат до точки ${\displaystyle (a,b)}$ на комплексной плоскости.
• Аргумент комплексного числа — угол ${\displaystyle \varphi }$ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки ${\displaystyle (a,b)}$: ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arg} (z)}$.
• Сопряжённое число к ${\displaystyle z=a+bi}$ обозначается ${\displaystyle {\overline {z}}}$ и равно ${\displaystyle a-bi}$.

Под алгебраической формой записи комплексного числа ${\displaystyle z=(a,b)}$ понимается представление его в виде ${\displaystyle z=a+bi}$, где ${\displaystyle a}$ является действительной частью ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a}$, а ${\displaystyle b}$ — мнимой частью ${\displaystyle \operatorname {Im} z=b}$.

Для наглядного отображения комплексных чисел на плоскости используют прямоугольную декартову систему координат, в которой каждой точке ${\displaystyle A(x,y)}$ соответствует число ${\displaystyle z=x+iy}$. Такую плоскость называют комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной осью, а ось ординат — мнимой осью (Рис.1).

Рис.1

Тригонометрической формой записи комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi}$ называют его выражение в виде ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$, где ${\displaystyle r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ — модуль числа, а ${\displaystyle \varphi }$ — один из его аргументов (Рис.2).

Рис.2

Показательной формой записи комплексного числа называют представление ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$, где ${\displaystyle r=|z|}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — один из аргументов, причём ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$ согласно формуле Эйлера.

1. Коммутативность сложения: ${\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$;
2. Ассоциативность сложения: ${\displaystyle (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}$;
3. Для любых ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ существует комплексное число ${\displaystyle z_{3}}$ (их разность), обозначаемое ${\displaystyle z_{3}=z_{2}-z_{1}}$, такое что ${\displaystyle z_{1}+z_{3}=z_{2}}$;
4. Коммутативность умножения: ${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}}$;
5. Ассоциативность умножения: ${\displaystyle (z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}=z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})}$;
6. Для любых ${\displaystyle z_{1}\neq (0,0)}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ существует комплексное число ${\displaystyle z_{3}}$ (их частное), обозначаемое ${\displaystyle z_{3}={\tfrac {z_{2}}{z_{1}}}}$, такое что ${\displaystyle z_{1}\cdot z_{3}=z_{2}}$. Деление на число ${\displaystyle (0,0)}$ невозможно;
7. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle (z_{1}+z_{2})\cdot z_{3}=z_{1}\cdot z_{3}+z_{2}\cdot z_{3}}$^[2].

Если комплексное число имеет вид ${\displaystyle (a,0)}$, все операции сводятся к действиям с действительными числами. Поэтому действительное число ${\displaystyle a}$ отождествляют с комплексным ${\displaystyle (a,0)}$, и множество ${\displaystyle R}$ рассматривают как подмножество ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Комплексные числа вида ${\displaystyle (0,b)}$ называют чисто мнимыми, а число ${\displaystyle (0,1)}$ именуют мнимой единицей ${\displaystyle i}$, то есть ${\displaystyle i=(0,1)}$^[3].

• ${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$
• ${\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}$

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i}$

Для деления числитель и знаменатель умножают на сопряжённое знаменателя: ${\displaystyle {\dfrac {a+bi}{c+di}}={\dfrac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\dfrac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}$

• Формула Муавра: ${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}[\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )]}$.
• Извлечение корня: ${\displaystyle z^{1/n}=|z|^{1/n}\left[\cos \left({\dfrac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)\right]}$, где ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$.

• При решении алгебраических уравнений, в том числе квадратных и кубических.
• В электротехнике при анализе переменного тока с использованием комплексного импеданса.
• В квантовой механике для описания волновой функции.
• В теории сигналов при представлении амплитудно-фазовых характеристик.

Комплексные числа значительно расширяют инструментарий математического анализа, открывая возможность решения уравнений и задач, неразрешимых в системе действительных чисел. Диапазон их применения охватывает различные области науки и техники, что подчёркивает важность освоения комплексных чисел для дальнейшего изучения математики и физики.