Квазикоординаты

Конфигурация динамических систем в общем виде задаётся ${\displaystyle n}$ независимыми параметрами ${\displaystyle \{q_{1},...q_{n}\}}$. Для решения основной задачи механики^[1] и определения скоростей всех точек динамической системы использование обобщённых скоростей вида ${\displaystyle \{{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...{\dot {q_{n}}}\}}$ неудобно с точки зрения трудоёмкости решения, а вот комбинация линейных форм с коэффициентами, зависящими от обобщённых координат вида:

${\displaystyle w_{s}=a_{s1}{\dot {q_{1}}}+...+a_{sn}{\dot {q_{n}}}}$,

где ${\displaystyle s=1,...n}$, позволяет упростить вычисления.

Здесь ${\displaystyle w_{s}}$ — квазискорости точек динамической системы.

В качестве примера приведём систему проекций вектора угловой скорости тела ${\displaystyle w}$ на оси ${\displaystyle Ox'y'z'}$ в случае, когда обобщёнными координатами свободного твёрдого тела являются координаты полюса ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$ в неподвижной системе ${\displaystyle {\bar {O}}x'y'z'}$:

${\displaystyle {\begin{cases}w_{1}={\dot {\vartheta }}\cos \varphi +{\dot {\psi }}\sin \vartheta \sin \varphi ,\\w_{2}=-{\dot {\vartheta }}\sin \varphi +{\dot {\psi }}\sin \vartheta \sin \varphi ,\\w_{3}={\dot {\varphi }}+{\dot {\psi }}\cos \vartheta \end{cases}}}$,

а выражение для скоростей примет вид:

${\displaystyle {\begin{cases}v_{0x'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{11}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{12}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{13},\\v_{0y'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{21}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{22}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{23},\\v_{0z'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{31}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{32}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{33},\end{cases}}}$.

Здесь ${\displaystyle \alpha _{ik}}$ — обозначения косинусов углов осей системы ${\displaystyle Ox'y'z'}$ с неподвижными осями.

Через квазискорости можно выражать и другие величины. Видно, что запись уравнений через квазискорости гораздо проще, чем через обобщённые скорости, особенно для выражения кинетической энергии твёрдого тела, проекций момента количества движения, и др.

Квазикоординаты вводятся как линейные формы дифференциалов обобщённых координат:

${\displaystyle d\pi _{s}=\alpha _{s1}dq_{1}+...+\alpha _{sn}dq_{n}}$,

где ${\displaystyle s=1,...n}$.

В этом выражении введённое обозначение ${\displaystyle \pi _{s}}$ принято называть квазикоординатами. Для квазикоординат выполняется отношение:

${\displaystyle {\frac {d\pi _{s}}{dt}}=w_{s}={\overset {0}{\pi _{s}}}}$,

в котором ноль над ${\displaystyle \pi }$ обозначает, что речь идёт о квазикоординатах, а не о дифференцировании по времени.

Если выражения для механической системы интегрируемы, то в квазикоординатах можно записать:

${\displaystyle \pi _{s}=\pi _{s}(q_{1},...q_{n})}$,

где ${\displaystyle s=1,...n}$.