Никита Евсеев родился в Альметьевске, где начал заниматься хоккеем в системе местного хоккейного клуба «Нефтяник». В 2020 году провёл свой первый матч в Молодёжной хоккейной лиге за команду «Спутник» из Альметьевска.
3 сентября 2022 года Евсеев провёл свой первый матч в рамках Континентальной хоккейной лиги (КХЛ) в возрасте 18 лет, выйдя на лёд в составе казанского «Ак Барса» в матче против московского «Динамо», завершившегося для его команды поражением со счётом 0:2. 19 октября 2022 года Евсеев забил свой первый гол в КХЛ в матче против магнитогорского «Металлурга», завершившегося победой «Ак Барса» в овертайме (3:2)[1]. 30 октября 2022 года Евсеев впервые в карьере забросил две шайбы в одном матче КХЛ, в котором «Ак Барс» обыграл «Нефтехимик» со счётом 5:2. 5 апреля 2023 года Евсеев забросил свою первую шайбу в плей-офф КХЛ, отличившись в третьем матче финала Восточной конференции против омского «Авангарда», чем помог своей команде одержать победу со счётом 3:2 (ОТ). По итогам финалов конференций Никита Евсеев был признан лучшим новичком раунда[2]. Всего в своём первом сезоне в КХЛ Евсеев набрал 7 (5+2) очков в регулярном сезоне и 4 (1+3) очка в плей-офф и стал серебряным призёром Кубка Гагарина.
В июле 2025 года Евсеев продлил контракт с «Ак Барсом» на два года, и сразу же был отдан в аренду в «Амур»[3]. В сезоне 2025/26 провёл за хабаровский клуб 61 матч, набрав 16 (4+12) очков при показателе полезности +8[4]. В июле 2026 года Евсеев вернулся в «Ак Барс»[5], с которым действует односторонний контракт до конца сезона 2026/27[6].
