Дроби, проценты, рациональные числа

${\displaystyle 8~/~13}$		${\displaystyle {\frac {8}{13}}}$	числитель
числитель	знаменатель		знаменатель
Две записи одной дроби

Обыкновенные дроби вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ целое, ${\displaystyle n}$ натуральное (${\displaystyle n\neq 0.}$).

В записи дроби вида ${\displaystyle m/n}$ или ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ число перед (над) чертой называется числи́телем, а число после черты (под чертой) — знамена́телем. Числитель выступает в роли делимого, знаменатель — делителя.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — правильные, в то время как ${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$ — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем ${\displaystyle 1}$.

Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$.

Составной дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (наклонных) черт:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}$.

Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

${\displaystyle {\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}}$

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.

Пример:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}$

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби.

Пример:

${\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}}$ — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель ${\displaystyle 4}$.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1.}$

Действия с обыкновенными дробями

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: ${\displaystyle M=[b,d]}$.
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на ${\displaystyle M/b}$.
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на ${\displaystyle M/d}$.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ${\displaystyle M}$). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ${\displaystyle M}$ любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$. ${\displaystyle \mathrm {HOK} (4,5)=20}$. Приводим дроби к знаменателю ${\displaystyle 20}$.

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}$;

${\displaystyle {\frac {15}{20}}<{\frac {16}{20}}}$, следовательно, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}$

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

Пример 1: ${\displaystyle \quad {\frac {1}{2}}}$ + ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ = ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ + ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ = ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$) равно ${\displaystyle 6}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 6}$, для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 3}$.
Получилось ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 2}$. Получилось ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 4}$) равно ${\displaystyle 4}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 4}$, для этого надо числитель и знаменатель умножить на ${\displaystyle 2}$. Получаем ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$.

Пример 2: ${\displaystyle \quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}}$

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}$

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

${\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}$

Взаимно обратные числа a и b, если a ⋅ b = 1. Определим обратную дробь для дроби ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ как дробь ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ (здесь ${\displaystyle a,b\neq 0}$). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1}$

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.}$

Например:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}$

Десятичная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0}{,}d_{-1}d_{-2}\ldots }$

где

${\displaystyle \pm }$: либо ${\displaystyle +}$, либо ${\displaystyle -}$,

${\displaystyle ,}$ — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа,

${\displaystyle d_{k}}$ — цифры, причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Пример

• ${\displaystyle 123{,}45}$

Значением десятичной дроби ${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}\ldots }$ является действительное число

${\displaystyle \pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{-1}\cdot 10^{-1}+d_{-2}\cdot 10^{-2}+\ldots \right),}$

равное сумме слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления.

Сложение и вычитание десятичных дробей

1. Необходимо уравнять количество цифр после запятой во всех десятичных дробях, участвующих в вычислении, приписывая нули.
2. Сложить или вычесть получившиеся дроби по разрядам.

Пример: 14,12 + 9,325 = 14,120 + 9,325 = 23,445.

Умножение десятичных дробей

1. Необходимо перемножить две десятичные дроби, как целые числа, не обращая внимания на запятые.
2. В полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Деление десятичных дробей

Деление десятичных дробей на целые числа проводятся аналогично делению целых чисел, а запятая в частном ставится после деления целой части.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

1. Необходимо перенести вправо запятую в делимом и делителе на столько цифр, сколько их имеется в дробной части делителя.
2. Разделить получившиеся числа, то есть деление будет выполняться на целое число.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Необходимо привести обыкновенную дробь её к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д.

• Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, то обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной. Например: 1/2=0,5; 3/5=0,6; 17/50=0,34;
• Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5, и эта дробь несократима, то её нельзя представить в виде конечной десятичной. Например: 2/3; 7/15; 23/19;

Округление — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр.

Округление применяется для представления значений и результатов вычислений с тем количеством знаков, которое соответствует реальной точности измерений или вычислений, либо той точности, которая требуется в конкретном приложении. Округление в ручных расчётах также может использоваться для упрощения вычислений в тех случаях, когда погрешность, вносимая за счёт ошибки округления, не выходит за границы допустимой погрешности расчёта.

Округление к меньшему. Заменяют нулями цифры, стоящие правее данного разряда, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Округление в ближайшую сторону — наиболее часто используемое округление.

• если N+1 знак < 5, то N-й знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;
• если N+1 знак ≥ 5, то N-й знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Например: 11,9 → 12; 0,82 → 0,8; 1,125 → 1,13; 254 → 250.

Другой вид дроби представляет собой процент, представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.

Сло́жный процент — это процент, начисленный на процент.

Пример: Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна ${\displaystyle x\cdot (1+{\frac {a}{100}})^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — начальная сумма вложенных средств, ${\displaystyle a>-1}$ — годовая процентная ставка, ${\displaystyle n}$ — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{2}}$ раз. За три года — в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{3}}$ раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{N}}$ раз больше первоначальной.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное^[2]. Пример: ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$, где ${\displaystyle m=2}$, а ${\displaystyle n=3}$.

Целые числа также могут быть записаны в виде дроби, например:

${\displaystyle 1=1,0={\frac {1}{1}};-4=-4,000={\frac {-20}{5}}.}$

Поэтому целые числа также являются рациональными. Таким образом, множество рациональных чисел представляет собой расширение множества целых чисел путём добавления к ним дробей.

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.