Длина Рэлея

Для Гауссова пучка, распространяющегося в свободном пространстве вдоль оси ${\displaystyle {\hat {z}}}$ с волновым числом ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$, длина Рэлея определяется как^[3][4]:

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}={\frac {1}{2}}kw_{0}^{2}}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны (длина волны в вакууме, делённая на ${\displaystyle n}$ — показатель преломления) и ${\displaystyle w_{0}}$ — перетяжка пучка, то есть ширина пучка в его самой узкой точке. Это уравнение как и последующие предполагает, что перетяжка не очень мала: ${\displaystyle w_{0}\geq 2\lambda /\pi }$.

Ширина пучка на расстоянии z от перетяжки задаётся следующей формулой^[5]:

${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}.}$

Минимальное значение ${\displaystyle w(z)}$ находится в ${\displaystyle w(0)=w_{0}}$, по определению. На расстоянии ${\displaystyle z_{\mathrm {R} }}$от перетяжки пучка его ширина увеличивается в ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ раз, а площадь поперечного сечения увеличивается в 2 раза.

Общий угловой разброс гауссова пучка в радианах связан с длиной Рэлея следующим образом^[6]:

${\displaystyle \Theta _{\mathrm {div} }\simeq 2{\frac {w_{0}}{z_{R}}}.}$

Диаметр пучка в области перетяжки определяется по формуле:

${\displaystyle D=2\,w_{0}\simeq {\frac {4\lambda }{\pi \,\Theta _{\mathrm {div} }}}}$ .

Эти уравнения справедливы в рамках параксиального приближения. Для пучков с гораздо большей расходимостью модель гауссова луча не является точной, и для его точного нахождения требуется физико-оптический анализ.