Дискретная категория

1. Каждая подкатегория дискретной категории дискретна.
2. Произвольная категория дискретна тогда и только тогда, когда любая её подкатегория полна^[5].
3. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ — произвольная категория и ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset \operatorname {Ob} {\mathcal {K}}}$ — некоторый класс её объектов. Среди всех подкатегорий категории ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, класс объектов которых совпадает с классом ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, существует наименьшая, а именно, подкатегория, морфизмами которой являются единичные морфизмы объектов из класса ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Эта категория является дискретной^[6].

Описательно говоря, дискретная категория по существу есть то же самое, что некоторый класс. Действительно, любая дискретная категория однозначно определяется классом своих объектов, и наоборот, любой класс может рассматриваться как дискретная категория, объектами которой являются элементы этого класса, к каждому из которых добавлен единичный морфизм^[1]. Более формально, каждому классу ${\displaystyle X}$ можно поставить в соответствие дискретную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\boldsymbol {C}}(X)}$, объекты и морфизмы которой определены следующим образом^[7]:

${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}=X}$; ${\displaystyle \quad \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(x,y)={\begin{cases}\varnothing ,&{\text{ если }}x\neq y,\\\{x\},&{\text{ если }}x=y;\end{cases}}}$ ${\displaystyle \quad \operatorname {id} _{x}=x;\quad x\circ x=x}$.

Если в качестве ${\displaystyle X}$ брать лишь множества (то есть исключать собственные классы), то соответствие ${\displaystyle X\mapsto {\boldsymbol {C}}(X)}$ можно рассматривать как функтор из категории множеств ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ в категорию малых категорий ${\displaystyle \mathbf {Cat} }$ (каждое отображение множеств ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ очевидным образом порождает функтор ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(X)\to {\boldsymbol {C}}(Y)}$). Этот функтор сопряжён слева функтору ${\displaystyle \operatorname {Ob} \colon \mathbf {Cat} \to \mathbf {Set} }$, сопоставляющему каждой малой категории множество её объектов.

Пусть ${\displaystyle \{A_{t}\}_{t\in T}}$ — индексированное множество объектов некоторой категории ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$; будем рассматривать множество ${\displaystyle T}$ как малую дискретную категорию, а соответствие ${\displaystyle t\mapsto A_{t}}$ — как функтор ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\colon T\to {\mathcal {K}}}$. Тогда произведение ${\displaystyle \prod _{t\in T}A_{t}}$ существует тогда и только тогда, когда существует предел функтора ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$, при этом они совпадают:

${\displaystyle \prod _{t\in T}A_{t}=\lim {\boldsymbol {F}}}$^[8].

Двойственно, аналогичное утверждение имеет место для копределов и копроизведений.

Категория, эквивалентная дискретной категории, сама может и не быть дискретной. Однако категория, эквивалентная некоторой дискретной категории, допускает простое описание: это категория ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, в которой каждый морфизм является изоморфизмом (то есть эта категория является группоидом), причём для любых объектов ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Ob} {\mathcal {K}}}$ множество ${\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {K}}(A,B)}$ состоит не более чем из одного элемента (то есть любые параллельные морфизмы совпадают; категории с этим свойством называют предпорядками). Такие категории иногда также называют дискретными (в более широком смысле). Категория, дискретная в этом широком смысле, дискретна (в смысле первоначального определения в этой статье) в том и только в том случае, если она является скелетальной (то есть такой, в которой любые два изоморфных объекта совпадают).