Десятичный и натуральный логарифмы, число e

Десяти́чный логари́фм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ есть решение уравнения ${\displaystyle 10^{x}=b.}$ Десятичный логарифм обозначается как ${\displaystyle \lg x}$.

Вещественный десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ существует, если ${\displaystyle b>0}$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех ${\displaystyle b\neq 0}$).

Примеры:

${\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}$,

${\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}$.

Алгебраические свойства

В таблице предполагается, что все аргументы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ положительны:

	формула	пример
десятичный логарифм произведения	${\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)}$	${\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}$
десятичный логарифм частного	${\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
десятичный логарифм степени	${\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)}$	${\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}$
десятичный логарифм корня	${\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

${\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|)}$,

${\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|)}$.

Формула для логарифма произведения обобщается на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}$.

Натура́льный логари́фм — логарифм по основанию e, где ${\displaystyle e}$ — трансцендентная константа (число Эйлера), равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ${\displaystyle \ln x}$ или ${\displaystyle \log _{e}x}$.

Константа e определяется как предел (второй замечательный предел):

${\displaystyle e=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=2,718281828459...}$

Свойства e

Производная экспоненциальной функции — это экспоненциальная функция:

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$.

Производная функции натурального логарифма является обратной функцией:

${\displaystyle (\log _{e}x)'=(\ln x)'=1/x}$,

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач (например, нахождение сложных процентов).

Определение

Натуральный логарифм числа ${\displaystyle a}$ — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить ${\displaystyle a}$. Другими словами, натуральный логарифм ${\displaystyle \ln a}$ есть решение ${\displaystyle x}$ уравнения ${\displaystyle e^{x}=a.}$

Примеры:

${\displaystyle \ln e=1}$, потому что ${\displaystyle e^{1}=e}$,

${\displaystyle \ln 1=0}$, потому что ${\displaystyle e^{0}=1}$.

Свойства

Из определения натурального логарифма следует частный случай основного логарифмического тождества:

${\displaystyle e^{\ln a}=a}$.

Сводка формул (все значения положительны):

	формула	пример
натуральный логарифм произведения	${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y}$	${\displaystyle \ln(4\cdot 3)=\ln 4+\ln 3}$
натуральный логарифм частного	${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln x-\ln y}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2}$
натуральный логарифм степени	${\displaystyle \ln(x^{p})=p\ln x}$	${\displaystyle \ln(64)=\ln(2^{6})=6\ln 2}$
натуральный логарифм корня	${\displaystyle \ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}}$	${\displaystyle \ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10}$

Другие свойства

• Из равенства двух вещественных натуральных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений.
• С возрастанием аргумента возрастает и логарифм: если ${\displaystyle 0<x<y,}$ то ${\displaystyle \ln x<\ln y.}$