Гипергеометрические функции Лауричеллы

В 1893 году Джузеппе Лауричелла определил и изучил четыре гипергеометрических функции F_A, F_B, F_C, F_D трёх переменных. Они были названы функциями Лауричеллы^[2].

${\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |x₁| + |x₂| + |x₃| < 1 и

${\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |x₁| < 1, |x₂| < 1, |x₃| < 1 и

${\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |x₁|^1/2 + |x₂|^1/2 + |x₃|^1/2 < 1 и

${\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

для |х₁| < 1, |х₂| < 1, |х₃| < 1. Здесь символ Похгаммера (q)_i обозначает i-й восходящий факториал q, то есть

${\displaystyle (q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,}$

где второе равенство справедливо для ${\displaystyle q}$, за исключением ${\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }$.

Эти функции могут быть расширены на другие значения переменных x₁, x₂, x₃ с помощью аналитического продолжения.

Для обобщённой гипергеометрической функции Лауричеллы, Безродных С. И. предлагает подход, позволяющий при любом N построить полную систему формул аналитического продолжения этой функции за границу единичного поликруга^[3]. Подход детально изложен для продолжения рассматриваемой функции в окрестности точек, все N компонент которых равны соответственно 1 или ∞. Для функции Лауричеллы также представлены дифференциальные соотношения, являющиеся аналогами формулы Якоби для гипергеометрической функции Гаусса. Результаты работы могут быть применены к решению проблемы кроудинга для интеграла Кристоффеля-Шварца и к теории задачи Римана-Гильберта. Полученные результаты весьма важны для конструктивного решения ряда задач физики плазмы^[4].

.Лауричелла рассматривал и гипергеометрические функции произвольного числа переменных^[4].

Эти функции могут быть напрямую расширены до n переменных. Например:

${\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}~,}$

где |х₁| + … + |х_н| < 1. Эти обобщённые функции также иногда называют функциями Лауричеллы.

При n = 2 функции Лауричеллы соответствуют гипергеометрическим функциям Аппеля двух переменных:

${\displaystyle F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.}$

При n = 1 все четыре функции сводятся к гипергеометрической функции Гаусса:

${\displaystyle F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).}$

По аналогии с функцией Аппеля F ₁ , функцию Лауричеллы F _D можно записать как одномерный интеграл Эйлера для любого числа n переменных:

${\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.}$

Это представление можно проверить с помощью разложения Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием. Из представления следует, что неполный эллиптический интеграл Π является частным случаем функции Лауричеллы F _D с тремя переменными:

${\displaystyle \Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatorname {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.}$

Случай 1: ${\displaystyle a>c}$, ${\displaystyle a-c}$ положительное целое число

Можно связать F _D с функцией Карлсона ${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}}$

с итеративной суммой

${\displaystyle D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}}$ и ${\displaystyle D_{0}=1}$,

где можно использовать функцию Карлсона ${\displaystyle R_{n}}$ с ${\displaystyle n>0}$^[5] .

Векторы определяются как

${\displaystyle {\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]}$

${\displaystyle {\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]}$,

где длина ${\displaystyle {\overline {z}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ равна ${\displaystyle N-1}$, тогда как длина ${\displaystyle {\overline {z^{*}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b^{*}}}}$ равна ${\displaystyle N}$.

Случай 2: ${\displaystyle c>a}$, ${\displaystyle c-a}$ положительное целое число

Для этого случая также есть известная аналитическая форма, но её довольно сложно записать, так как она включает несколько шагов^[6].