Гармоническая прогрессия

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность) — это прогрессия, образованная обратными элементами арифметической прогрессии.

Эквивалентное определение — это бесконечная последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,$

где a не равно нулю и −a/d не натуральное число, или конечная последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},$

где a≠0, k — натуральное число −a/d — не натуральное число или больше k.

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3, ${\tfrac {12}{5}}$ , 2, … , ${\tfrac {12}{n}}$ , …
30, −30, −10, −6, − ${\tfrac {30}{7}}$ , … , ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3}}}}$
10, 30, −30, −10, −6, − ${\tfrac {30}{7}}$ , … , ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3}}}}$

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (в смысле бесконечной суммы).

Для гармонической прогрессии невозможно при различных единицах дробей (кроме случаев с a = 1 и k = 0) иметь сумму, равную целому числу. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии будет делиться на натуральное число, на которое не делится любой другой знаменатель.^[1]

↑ Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása, Mat. Fiz. Lapok Т. 39: 17–24, <https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf> Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine. Цитата по Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, vol. 25, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6, DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9 .

[1] Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása, Mat. Fiz. Lapok Т. 39: 17–24, <https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf> Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine. Цитата по Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, vol. 25, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6, DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9 .

[1]

Гармоническая прогрессия

Примеры

Сумма гармонической прогрессии

Примечания

Категории