Выборочная дисперсия

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}}$,

где символ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$.

Очевидно,

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}}$.

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна ${\displaystyle S_{n}^{2}(\omega )}$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$, то

${\displaystyle S_{n}^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$

и

${\displaystyle S^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$,

где символ «${\displaystyle \to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }}$» обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}}$,

и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}}$.

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots }$. Тогда

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)}$.

Есть результаты пяти измерений веса деталей в граммах: ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 6}$.

Нужно посчитать выборочную дисперсию (${\displaystyle s^{2}}$) для этого набора.

1. Найти среднее арифметическое

Сложить все значения и разделим на их количество (${\displaystyle n=5}$):

${\displaystyle {x}={\frac {2+4+4+4+6}{5}}={\frac {20}{5}}=4}$.

2. Вычесть среднее из каждого числа

Найти отклонение каждого значения от среднего арифметического (${\displaystyle x_{i}-{\bar {x}}}$):

• ${\displaystyle 2-4=-2}$
• ${\displaystyle 4-4=0}$
• ${\displaystyle 4-4=0}$
• ${\displaystyle 4-4=0}$
• ${\displaystyle 6-4=2}$.

3. Возвести отклонения в квадрат

Квадраты отклонений необходимы, чтобы избавиться от отрицательных чисел:

• ${\displaystyle (-2)^{2}=4}$
• ${\displaystyle 0^{2}=0}$
• ${\displaystyle 0^{2}=0}$
• ${\displaystyle 0^{2}=0}$
• ${\displaystyle 2^{2}=4}$

4. Сложить квадраты отклонений

Суммировать полученные результаты:

${\displaystyle \sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}=4+0+0+0+4=8}$

5. Разделить сумму на ${\displaystyle n-1}$

В статистике при расчете исправленной выборочной дисперсии сумму квадратов нужно разделить на число элементов минус один (${\displaystyle n-1}$), чтобы оценка была несмещённой:

${\displaystyle s^{2}={\frac {8}{5-1}}={\frac {8}{4}}=2}$.

Выборочная исправленная дисперсия для данного набора данных равна ${\displaystyle 2}$. Это значение показывает меру разброса веса деталей вокруг их среднего значения.