Волны Лява

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию; именно, в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z, направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

${\displaystyle U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],}$

где k_t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение обычно не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой^[2].

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ_i, уравнение движения для смещений U можно записать в виде^[2]

${\displaystyle \rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},}$

(1)

где для поперечной волны U=(0,U_y,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала, заполняющего пространство; z>h.

Полное решение этого уравнения задаётся в виде

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.2)

где ${\displaystyle s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}}$, ${\displaystyle s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}}$. Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которая имеет нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю^[3]:

${\displaystyle \operatorname {tg} {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},}$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(4.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.}$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме, то уравнение (3) имеет действительные решения, лежащие в области ${\displaystyle k_{t1}>k>k_{t2}}$. Этих корней тем больше, чем больше произведение ${\displaystyle k_{t2}h}$. В пределе малой толщины ${\displaystyle k_{t2}h\rightarrow 0}$ существует только одна волна Лява^[4]:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(5.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},}$

(5.2)

${\displaystyle k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],}$

(5.3)

${\displaystyle s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.}$

(5.4)