Максим Бабичев начинал свою профессиональную карьеру в минском «Аркатроне». В 2008 году перешёл в «Динамо» Минск, с которым 5 раз становился чемпионом Белоруссии и дважды выигрывал Кубок Белоруссии. В 2014—2017 годах выступал за Брестский гандбольный клуб имени Мешкова. В составе «мешковцев» провёл 149 игр и забил 246 голов, в том числе 40 — в Лиге чемпионов. Летом 2017 года перешёл в украинский «Мотор». Дебютировал за «моторостроителей» 27 августа 2017 года в матче за Суперкубок Украины против ЗТР (24:21).
Статистика голов в Лиге чемпионов ЕГФ за «Мотор» по сезонам: 2017/18 — 19, 2018/19 — 48, 2019/20 — 33, 2020/21 — 6.
Завершил игровую карьеру в 2021 году.
Максим Бабичев выступал за сборную Белоруссии с 2003 года, провёл 136 матчей и забил 231 гол.
Принимал участие в чемпионатах мира (2013, 2015) и чемпионатах Европы (2014, 2016, 2018)[4].
Закончил карьеру в 2021 году, позже вошёл в штаб женской сборной Белоруссии, где работал с 2021 по 2025 год[5][1]. В 2025 году возглавил российский клуб «Черноморочка»[2], а в феврале 2026 года покинул пост главного тренера по обоюдному согласию сторон[3].
.svg){kind=small}