Арифметический корень натуральной степени (ЕГЭ-ОГЭ)

Корень ${\displaystyle n}$-й степени из числа ${\displaystyle a}$ определяется^[1] как такое число ${\displaystyle b}$, что ${\displaystyle b^{n}=a.}$ Здесь ${\displaystyle n}$ — натуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня).

Обозначение: ${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}},}$ символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число ${\displaystyle a}$ (подкоренное выражение).

Примеры:

• Корнями 2-й степени из числа 9 являются ${\displaystyle +3}$ и ${\displaystyle -3,}$ у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,}$ потому что ${\displaystyle 4^{3}=64.}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3}},}$ потому что ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.}$

Как видно из первого примера, у корня чётной степени могут быть два значения (положительное и отрицательное). Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифмети́ческого ко́рня (из неотрицательного вещественного числа), значение которого всегда неотрицательно, в первом примере это число ${\displaystyle 3.}$ Кроме того, принято, что знак корня чётной степени из вещественного числа всегда обозначает арифметический корень: ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{9}}=3.}$ Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Вещественные корни чётной степени из отрицательных чисел не существуют.

Графики функций корня

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени (кроме особо оговорённых случаев), при этом все подкоренные выражения должны быть положительными. Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения^[2].

• Взаимопогашение корня и степени:^[3] 
  • для нечётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}$,
  • для чётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n}}}}}=|a|}$
• Если ${\displaystyle a<b}$, то и ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}<{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$

Аналогично для деления:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b}}}}}={\frac {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}},\;b\neq 0}$

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень^[4]:

• ${\displaystyle a^{m/n}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}}=\left({\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}}$

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на одно и то же число (множитель показателя степени и показатель степени подкоренного выражения):

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\;n,k\in \mathbb {N} .}$ Пример: ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2\cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2}$
• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a}}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a}}}},\;n,k\in \mathbb {N} }$

Для корней нечётной степени укажем дополнительное свойство:

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}}$