Арифметические операции с рациональными числами

• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное число.

• Обыкновенная дробь — выражение вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ — числитель, а ${\displaystyle n}$ — знаменатель;
• Несократимая дробь — дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Сложение/вычитание дробей с одинаковым знаменателем: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{b}}={\frac {a\pm c}{b}}}$;

Сложение/вычитание дробей с разными знаменателями: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$.

Умножение дроби на натуральное число: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot c={\frac {ac}{b}}}$;

Деление дроби на натуральное число: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}:c={\frac {a}{bc}}}$;

Умножение дробей: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$; 

Деление дробей: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$.

Округле́ние — замена числа на его приближённое значение (с определённой то́чностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр.

Округление применяется для представления значений и результатов вычислений с тем количеством знаков, которое соответствует реальной точности измерений или вычислений, либо той точности, которая требуется в конкретном приложении. Округление в ручных расчётах также может использоваться для упрощения вычислений в тех случаях, когда погрешность, вносимая за счёт ошибки округления, не выходит за границы допустимой погрешности расчёта.

Округление к меньшему. Заменяют нулями цифры, стоящие правее данного разряда, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Округление в ближайшую сторону — наиболее часто используемое округление.

• если N+1 знак < 5, то N-й знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;
• если N+1 знак ≥ 5, то N-й знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Пример: ${\displaystyle 11,9\approx 12;0,82\approx 0,8;-1,125\approx -1,13;254\approx 250.}$

• Уравнивают количество цифр после запятой во всех десятичных дробях, участвующих в вычислении, приписывая нули.
• Сложить или вычесть получившиеся дроби по разрядам.

Пример: 14,12 + 9,325 = 14,120 + 9,325 = 23,445.

Необходимо перемножить две десятичные дроби, как целые числа, не обращая внимания на запятые.

1. В полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Деление десятичных дробей на целые числа проводятся аналогично делению целых чисел, а запятая в частном ставится после деления целой части.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

1. Необходимо перенести вправо запятую в делимом и делителе на столько цифр, сколько их имеется в дробной части делителя.
2. Разделить получившиеся числа, то есть деление будет выполняться на целое число.

• Коммутативность (переместительный закон):

 Сложение: ${\displaystyle a+b=b+a}$.
 Умножение: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

• Ассоциативность (сочетательный закон):

 Сложение: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$.
 Умножение: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

• Дистрибутивность (распределительный закон):

 Умножение относительно сложения: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

• Упрощение выражений:

 * ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}={\dfrac {3}{6}}+{\dfrac {2}{6}}={\dfrac {5}{6}}}$
 * ${\displaystyle -{\dfrac {2}{5}}+{\dfrac {3}{5}}={\dfrac {1}{5}}}$

• Решение уравнений:

 * Уравнение: ${\displaystyle x-{\dfrac {3}{4}}={\dfrac {1}{2}}}$
 * Решение:
   * ${\displaystyle x={\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {3}{4}}={\dfrac {2}{4}}+{\dfrac {3}{4}}={\dfrac {5}{4}}}$

Развитые навыки выполнения арифметических операций с рациональными числами являются основой для успешного изучения алгебры и математики в целом. Понимание правил действий с рациональными числами позволяет уверенно решать уравнения, упрощать выражения и справляться с математическими задачами любого уровня сложности, что особенно важно при подготовке к экзаменам.