Арифметическая производная

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа ${\displaystyle n}$ является ${\displaystyle D(n)}$; оно определяется следующим образом:

• ${\displaystyle D(0)=D(1)=0}$,
• ${\displaystyle D(p)=1}$ для любого простого числа ${\displaystyle p}$,
• ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+D(b)a}$ для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что ${\displaystyle D(1)=0}$, устанавливается, что ${\displaystyle D(-1)=0}$:

${\displaystyle 0=D(1)=D((-1)\cdot (-1))=-2\cdot D(-1)\implies D(-1)=0}$,

таким образом, для любого целого ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle D(-n)=D((-1)\cdot n)=D(-1)n+-D(n)=-D(n)}$.

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

${\displaystyle 0=D(1)=D({\frac {a}{a}})=D(a){\frac {1}{a}}+D({\frac {1}{a}})a\implies D({\frac {1}{a}})=-{\frac {D(a)}{a^{2}}}}$;

отсюда следует:

${\displaystyle D({\frac {a}{b}})=D(a){\frac {1}{b}}+D({\frac {1}{b}})a={\frac {D(b)a}{b^{2}}}-{\frac {D(a)}{b}}={\frac {D(b)a-D(a)b}{b^{2}}}}$

Также применимо и правило производной степени функции:

${\displaystyle D(a^{n})=na^{n-1}D(a)}$ для любого целого числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle n\geqslant 0}$,

${\displaystyle D(p^{n})=np^{n-1}}$ для любого простого числа ${\displaystyle p}$ и любого целого числа ${\displaystyle n\geqslant 0}$^[2],

${\displaystyle D({\frac {1}{p^{n}}})=-{\frac {n}{p^{n+1}}}}$ для любого простого числа ${\displaystyle p}$.