Александровская топология

Алекса́ндровская тополо́гия (дискре́тная по Алекса́ндрову тополо́гия) — топология, в которой пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Одним из определяющих свойств (аксиом) топологического пространства является следующее: пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто; в александровской топологии это условие выполнено для произвольных (необязательно конечных) семейств открытых множеств.

Множество, снабжённое александровской топологией (то есть топологическое пространство, топология которого является александровской), называется (топологическим) пространством, дискретным по Александрову (или пространством, дискретным в смысле Александрова), а также конечно порождённым топологическим пространством.

Александровские топологии на данном множестве однозначно определяются своими предпорядками специализации (англ. specialization preorder). Действительно, для каждого предпорядка ${\displaystyle \leqslant }$ на множестве ${\displaystyle X}$ существует единственная александровская топология, такая, что ${\displaystyle \leqslant }$ есть её предпорядок специализации. Открытыми множествами в этой топологии являются все верхние множества относительно предпорядка ${\displaystyle \leqslant }$. Тем самым все александровские топологии на множестве ${\displaystyle X}$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с предпорядками на ${\displaystyle X}$.

Пространства, дискретные по Александрову, также называются конечно порождёнными, поскольку их топология порождается семейством всех конечных подмножеств. В этом смысле понятие пространства, дискретного по Александрову, может рассматриваться как обобщение понятия конечного топологического пространства.

Пространства, дискретные по Александрову, названы в честь П. С. Александрова. Их не следует путать с пространствами Александрова в дифференциальной геометрии, введёнными А. Д. Александровым.